Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của bốn cạnh $AB$, $BC$, $CD$ và $DA$ của hình thoi $ABCD$.

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Ta có $AC\bot BD$.

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:

$OM=\dfrac{1}{2}AB$; $ON=\dfrac{1}{2}BC$;

$OP=\dfrac{1}{2}CD$; $OQ=\dfrac{1}{2}AD$

Mặt khác $AB=BC=CD=DA$ nên $OM=ON=OP=OQ$.

Do đó bốn điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ cùng nằm trên một đường tròn.

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$.

Ta có $BD$ là đường cao nên $BD\bot AC$, hay tam giác $BCD$ vuông tại $D$.

Trong tam giác vuông $BCD$ có $DO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên:

$OD=OB=OC=\dfrac{1}{2}BC$ $(1)$

Tương tự ta có: $OE=OB=OC=\dfrac{1}{2}BC$ $(2)$

Và $OF=OB=OC=\dfrac{1}{2}BC$ $(3)$

Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ suy ra $OB=OC=OD=OD=OE=OF$.

Do đó năm điểm $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$.

Ta có $BD$ là đường cao nên $BD\bot AC$, hay tam giác $BCD$ vuông tại $D$.

Trong tam giác vuông $BCD$ có $DO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên:

$OD=OB=OC=\dfrac{1}{2}BC$ $(1)$

Tương tự ta có: $OE=OB=OC=\dfrac{1}{2}BC$ $(2)$

Và $OF=OB=OC=\dfrac{1}{2}BC$ $(3)$

Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ suy ra $OB=OC=OD=OD=OE=OF$.

Do đó năm điểm $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có $OA=OB=OC=OD \, \Big( =\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}BD \Big)$.

Vậy bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng thuộc $\Big( O;\dfrac{1}{2}AC \Big)$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông $ABC$, ta có: $AC^2=AB^2+BC^2=a^2+b^2$

Do đó $R=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$.

Tam giác $ABC$ có hai đường cao $B{B}'$ và $C{C}'$ nên $\widehat{B{C}'C}=\widehat{B{B}'C}=90^\circ.$

Suy ra $OB=OC=O{B}'=O{C}'$ (đường cao ứng với cạnh huyền).

Do đó bốn điểm $B$, ${C}'$, ${B}'$, $C$ cùng nằm trên một đường tròn.

Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{B}=\widehat{D}=90^\circ $ nên $OA=OB=OC=OD$ (đường cao ứng với cạnh huyền).

Suy ra bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng nằm trên một đường tròn tâm $O$, đường kính $AC$.