Gọi F là giao điểm hai đường chéo trong tứ giác ADME . Vì góc BAC=góc ADM=gócAEM=90 độ nên ADME là hình chữ nhật .suy ra FD=FM=FE và F là trung điểm AM. Xét tam giác AMH vuông H ta có HF là trung tuyến nên FA=FM=FH=1/2AM. Suy ra FD=FA=MF=FE=FH. Vậy A,D,M,H,E cùng nằm trên một đường tròn.

Gọi T là giao AD và BC, xét tam giác CDT ta có góc DTC+góc TDC+góc ĐCT bằng 180 độ suy ra góc DTC bằng 90 độ nên AD vuông góc BC. Xét tam giác ABC vì M,N là trung điểm AB và BD nên MN là đường trưng bình. Xét tam giác ABC ta có M là trung điểm AB , Q là trung điểm AC nên MQ là đường trưng bình . Suy ra MNPQ là hình chữ nhật . Vậy M,N,P,Q nằm trên một đường tròn.

Vì tâm giác ABC đều nên N,P là trung điểm AC,AB.suy ra BN vuông góc AC, CP vuông góc với AB. Xét tam giác BNC vuông tại N ta có MN là trung tuyến nên MN=MB=MC=1/2BC. Xét tam giác BPC vuông tại P ta có MP là trung tuyến nên MP=MN=MC=1/2BC.suy ra MP=MN=MC=MV. Vậy B,C,N,Ở thuộc một đường tròn. Bán kính đường tròn bằng 1/2BC=1/2a.

a, Có vì D là trục đối xứng A thuộc O và B đối xứng A qua d nên B thuộc O, vì C,D là điểm đối xứng A,B qua Ở nên C,D thuộc O.b,vì C,D lần lượt là điểm đối xứng A và B qua O. Suy ra O là trung điểm AC và BD đồng thời ABCD là hình bình hành.Vì AC và BD là đường kính nên AC=BD.suy ra ABCD là hình chữ nhật.c, vì B đối xứng A qua d nên d là đường trưng trực AB, vì AB//CD nên d là đường trưng trực CD .Vậy C,D đối xứng với nhau qua d.

ạ,Do ABCD là hình vuông, E trung điểm AC và BD nên AE=BE=EC=ED.Vậy A,B,C,D thuộc một đường tròn hay một đường tròn duy nhất quả bốn điểm này.E là tâm đối xứng và có hai trục đối xứng là AC và BD.b,Ta có R=AE,E là trung điểm AC nên R=AE=Ac/2=3√2/2.

Cho hình thời ABCD có M,N,P,Q là trung điểm AB,BC,CD và DA.Gọi O là giao của AC và BD,có AC vuông góc BD.Xét tâm giác AOB vuông tại O ta có OM=1/2AB, xét tam giác BOC vuông tại O ta có ON=1/2BC, xét tam giác DOC vuông tại O ta có OP=1/2CD, xét tam giác AOD vuông tại O ta có OQ=1/2AD . Vì AB=CD=DA=BC nên M,N,P,Q nằm trên 1 đường tròn. Vậy 4 cạnh hình thoi thuộc một đường tròn

Gọi O là trung điểm BC, vì BD là đường cao nên BD vuông góc AC. Suy ra tam giác BDC vuông tại D. Xét tam giác BDC vì OD là đường trưng tuyến nên OD=OB=OC=1/2BC.Xét tam giác BDC vuông tại E ta có OE=OB=OC=1/2BC.Xét tâm giác CFB vuông tại F vì OF là đường trưng tuyến nên OF=OB=OC=1/2BC.Suy ra OE=OB=OC=OD=OF.vậy B.C.D.E.F thuộc cũng một đường tròn.

Gọi O là giao điểm hai đường chéo Ac và BD. Ta có OA=OB=OC=OD=1/2AC=1/2BD.Do đó Ạ,B,C,D thuộc đường tròn (O,1/2AC)

Xét tam giác BCB' có B'O là đường trung tuyến nên B'O=1/2 BC=OB=OC .Xét tam giác BCC' ta có C'O là đường trưng tuyến nên OB=OC=C'O=1/2 BC suy ra OB=OC=OC'=B'O. Vậy đương tròn tâm Ở bán kính OB' đi qua B,C,C'.

Gọi M là trung điểm của AC ,xét tam giác ABC vuông tại B ta có BM là đường trung tuyến nên BM=MA=MC=1/2 AC .Xét tam giác ACD vuông tại D ta có MD là đường trung tuyến nên MA=MC=MD=1/2 AC .Suy ra MA=MB=MC=MD.Vậy A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn.