Dưới đây là lời giải ngắn gọn – không trình bày bước cho Bài 7.

Bài 7

a)

Vì là điểm đối xứng của qua đường thẳng đi qua tâm , nên .
Vì và là điểm đối xứng của và qua tâm , nên và .
Do là bán kính đường tròn , nên cả ba điểm đều thuộc đường tròn .

b)

Vì là đối xứng của qua và là đối xứng của qua , nên và đều đi qua và là các đoạn thẳng đối xứng nhau. Do đó .
Hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm nên là hình chữ nhật.

c)

Vì phép đối xứng trục biến thành và vì đối xứng tâm qua bảo toàn tính chất đó, nên hai điểm đối xứng tương ứng sau hai phép biến hình cũng đối xứng nhau qua .
Do đó và đối xứng nhau qua .

Bài 6

a)

Trong hình vuông , các góc đều là nên tổng hai góc đối nhau bằng . Vì vậy tứ giác nội tiếp được một đường tròn.
Tâm đối xứng của đường tròn chính là giao điểm của hai đường chéo.
Hai trục đối xứng chính là hai đường chéo của hình vuông.

b)

Hình vuông cạnh cm ⇒ đường chéo

Bài 5

Trong hình thoi, các đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Do đó bốn tam giác được tạo thành bởi các đường chéo đều bằng nhau và có các cặp cạnh đối song song. Bốn trung điểm của bốn cạnh tạo thành hình chữ nhật. Mà bốn đỉnh của hình chữ nhật luôn cùng thuộc một đường tròn, nên bốn trung điểm của bốn cạnh hình thoi cùng nằm trên đường tròn

Do và là đường cao, ta có các góc vuông tại và . Điểm được dựng sao cho , nên cũng là góc vuông. Tất cả các điểm đều tạo với nhau các góc nội tiếp chắn cùng một đường kính, nên chúng cùng nằm trên một đường tròn.

8Trong hình chữ nhật, các góc đều bằng nhau nên . Một tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng thì nội tiếp, nên bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
Tâm của đường tròn là trung điểm của đoạn chéo (hoặc ), và bán kính bằng .

Vì và là hai đường cao nên và lần lượt là chân các đường vuông góc từ và xuống và . Ta có tứ giác và tứ giác đều nội tiếp vì mỗi tứ giác đều có hai góc vuông đối nhau. Do đó . Suy ra các điểm đều cách một khoảng bằng , nên chúng cùng thuộc đường tròn tâm bán kính .

Vì nên tứ giác có chắn cung bằng góc vuông. Tương tự, nên cũng chắn cung bằng góc vuông. Hai góc ở hai vị trí khác nhau cùng bằng và cùng là góc nội tiếp nên bốn điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới góc không đổi. Do đó chúng cùng nằm trên một đường tròn.

Vì nên tứ giác có chắn cung bằng góc vuông. Tương tự, nên cũng chắn cung bằng góc vuông. Hai góc ở hai vị trí khác nhau cùng bằng và cùng là góc nội tiếp nên bốn điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới góc không đổi. Do đó chúng cùng nằm trên một đường tròn.

Vì nên tứ giác có chắn cung bằng góc vuông. Tương tự, nên cũng chắn cung bằng góc vuông. Hai góc ở hai vị trí khác nhau cùng bằng và cùng là góc nội tiếp nên bốn điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới góc không đổi. Do đó chúng cùng nằm trên một đường tròn.

Vì nên tứ giác có chắn cung bằng góc vuông. Tương tự, nên cũng chắn cung bằng góc vuông. Hai góc ở hai vị trí khác nhau cùng bằng và cùng là góc nội tiếp nên bốn điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới góc không đổi. Do đó chúng cùng nằm trên một đường tròn.