Vì \(M , N , P , Q\) lần lượt là trung điểm của \(A B , B D , D C , C A\), nên theo định lý Varignon (định lý về tứ giác trung điểm) ta có \(M N P Q\) là một hình parallelogram. (Cụ thể: trong tam giác \(A B D\), \(M\) và \(N\) là hai trung điểm nên đoạn \(M N\) song song với \(A D\); trong tam giác \(B D C\), \(N\) và \(P\) là hai trung điểm nên đoạn \(N P\) song song với \(B C\).)

Do đó

\(M N \parallel A D \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} N P \parallel B C .\)

Suy ra góc ở đỉnh \(N\) của tứ giác \(M N P Q\) thỏa

\(\angle M N P = \text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{gi}ữ\text{a}\&\text{nbsp};\text{hai}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp}; A D \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; B C .\)

Xét hai đường thẳng \(A D\) và \(B C\). Khi mở rộng chúng, góc giữa \(A D\) và \(B C\) chính bằng

\(180^{\circ} - \left(\right. \angle C + \angle D \left.\right) ,\)

vì \(\angle C\) và \(\angle D\) là hai góc trong ở các đỉnh kề nhau chắn phần còn lại của một đường thẳng khi hai cạnh đối diện được kéo dài. Từ giả thiết \(\angle C + \angle D = 90^{\circ}\) ta có

\(\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{gi}ữ\text{a}\&\text{nbsp}; A D \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; B C = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} .\)

Vậy \(\angle M N P = 90^{\circ}\).

Do \(M N P Q\) là một parallelogram mà lại có một góc vuông, nên \(M N P Q\) là một hình chữ nhật. Mọi hình chữ nhật đều là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc kề bằng \(180^{\circ}\)), nên bốn điểm \(M , N , P , Q\) cùng nằm trên một đường tròn.

Vì \(M , N , P , Q\) lần lượt là trung điểm của \(A B , B D , D C , C A\), nên theo định lý Varignon (định lý về tứ giác trung điểm) ta có \(M N P Q\) là một hình parallelogram. (Cụ thể: trong tam giác \(A B D\), \(M\) và \(N\) là hai trung điểm nên đoạn \(M N\) song song với \(A D\); trong tam giác \(B D C\), \(N\) và \(P\) là hai trung điểm nên đoạn \(N P\) song song với \(B C\).)

Do đó

\(M N \parallel A D \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} N P \parallel B C .\)

Suy ra góc ở đỉnh \(N\) của tứ giác \(M N P Q\) thỏa

\(\angle M N P = \text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{gi}ữ\text{a}\&\text{nbsp};\text{hai}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp}; A D \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; B C .\)

Xét hai đường thẳng \(A D\) và \(B C\). Khi mở rộng chúng, góc giữa \(A D\) và \(B C\) chính bằng

\(180^{\circ} - \left(\right. \angle C + \angle D \left.\right) ,\)

vì \(\angle C\) và \(\angle D\) là hai góc trong ở các đỉnh kề nhau chắn phần còn lại của một đường thẳng khi hai cạnh đối diện được kéo dài. Từ giả thiết \(\angle C + \angle D = 90^{\circ}\) ta có

\(\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{gi}ữ\text{a}\&\text{nbsp}; A D \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; B C = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} .\)

Vậy \(\angle M N P = 90^{\circ}\).

Do \(M N P Q\) là một parallelogram mà lại có một góc vuông, nên \(M N P Q\) là một hình chữ nhật. Mọi hình chữ nhật đều là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc kề bằng \(180^{\circ}\)), nên bốn điểm \(M , N , P , Q\) cùng nằm trên một đường tròn.