Ta có

H(x,y)=x^2+y^2-xy-x+y+1.

Bước 1: Tính đạo hàm riêng

\frac{\partial H}{\partial x}=2x-y-1

\frac{\partial H}{\partial y}=2y-x+1

Cho hai đạo hàm bằng 0:

\begin{cases} 2x-y=1 \\ -\,x+2y=-1 \end{cases}

Bước 2: Giải hệ

Từ 2x-y=1 \Rightarrow y=2x-1

Thay vào phương trình dưới:

-x+2(2x-1)=-1

-x+4x-2=-1

3x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{3}

y=2x-1=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}

Bước 3: Tính giá trị nhỏ nhất

H\left(\frac13,-\frac13\right) = \frac19+\frac19+\frac19-\frac13-\frac13+1

= \frac{1}{3}+\frac{1}{3} = \frac{2}{3}

✅ Giá trị nhỏ nhất của H(x,y) là:

\boxed{\frac{2}{3}}

Đạt được tại \left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right).

Ta có

H(x,y)=x^2+y^2-xy-x+y+1.

Bước 1: Tính đạo hàm riêng

\frac{\partial H}{\partial x}=2x-y-1

\frac{\partial H}{\partial y}=2y-x+1

Cho hai đạo hàm bằng 0:

\begin{cases} 2x-y=1 \\ -\,x+2y=-1 \end{cases}

Bước 2: Giải hệ

Từ 2x-y=1 \Rightarrow y=2x-1

Thay vào phương trình dưới:

-x+2(2x-1)=-1

-x+4x-2=-1

3x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{3}

y=2x-1=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}

Bước 3: Tính giá trị nhỏ nhất

H\left(\frac13,-\frac13\right) = \frac19+\frac19+\frac19-\frac13-\frac13+1

= \frac{1}{3}+\frac{1}{3} = \frac{2}{3}

✅ Giá trị nhỏ nhất của H(x,y) là:

\boxed{\frac{2}{3}}

Đạt được tại \left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right).

Ta có

H(x,y)=x^2+y^2-xy-x+y+1.

Bước 1: Tính đạo hàm riêng

\frac{\partial H}{\partial x}=2x-y-1

\frac{\partial H}{\partial y}=2y-x+1

Cho hai đạo hàm bằng 0:

\begin{cases} 2x-y=1 \\ -\,x+2y=-1 \end{cases}

Bước 2: Giải hệ

Từ 2x-y=1 \Rightarrow y=2x-1

Thay vào phương trình dưới:

-x+2(2x-1)=-1

-x+4x-2=-1

3x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{3}

y=2x-1=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}

Bước 3: Tính giá trị nhỏ nhất

H\left(\frac13,-\frac13\right) = \frac19+\frac19+\frac19-\frac13-\frac13+1

= \frac{1}{3}+\frac{1}{3} = \frac{2}{3}

✅ Giá trị nhỏ nhất của H(x,y) là:

\boxed{\frac{2}{3}}

Đạt được tại \left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right).