Ta có:

D(x)=2x^2+3y^2+4z^2-2(x+y+z)+2

Hoàn thành bình phương từng biến:

Với x:

2x^2-2x =2\left(x^2-x\right) =2\left[\left(x-\frac12\right)^2-\frac14\right] =2\left(x-\frac12\right)^2-\frac12

Với y:

3y^2-2y =3\left(y^2-\frac{2}{3}y\right) =3\left[\left(y-\frac13\right)^2-\frac19\right] =3\left(y-\frac13\right)^2-\frac13

Với z:

4z^2-2z =4\left(z^2-\frac12 z\right) =4\left[\left(z-\frac14\right)^2-\frac1{16}\right] =4\left(z-\frac14\right)^2-\frac14

Cộng lại:

D(x) =2\left(x-\frac12\right)^2 +3\left(y-\frac13\right)^2 +4\left(z-\frac14\right)^2 +\left(2-\frac12-\frac13-\frac14\right)

Tính hằng số:

2-\frac12-\frac13-\frac14 =\frac{24-6-4-3}{12} =\frac{11}{12}

Vì các bình phương luôn ≥ 0 nên giá trị nhỏ nhất đạt khi:

x=\frac12,\quad y=\frac13,\quad z=\frac14

Khi đó:

D_{\min}=\frac{11}{12}

a) Chứng minh O là trung điểm của AD

Dùng phương pháp tọa độ cho nhanh:

Đặt:

• A(0,0)
• C(3,0) (để AM:MC = 1:2)

⇒ M(1,0)

Gọi B(0,b) (tùy ý).

Vì AD là trung tuyến ⇒

D là trung điểm của BC:

D\left(\frac{3}{2}, \frac{b}{2}\right)

Viết phương trình hai đường thẳng BM và AD, tìm giao điểm O, ta được:

O\left(\frac{3}{4}, \frac{b}{4}\right)

Trung điểm của AD là:

\left(\frac{0 + \frac{3}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{b}{2}}{2}\right) = \left(\frac{3}{4}, \frac{b}{4}\right)

⇒ Trùng với O

✅ Vậy O là trung điểm của AD.

b) Chứng minh OM = \frac{1}{4}BM

Ta có:

• B(0,b)
• M(1,0)
• O\left(\frac{3}{4}, \frac{b}{4}\right)

Tính độ dài theo vectơ:

\vec{BM} = (1,-b)

\vec{OM} = \left(1-\frac{3}{4}, 0-\frac{b}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}, -\frac{b}{4}\right) = \frac{1}{4}(1,-b)

⇒

OM = \frac{1}{4}BM

a)

\frac{22}{40} = \frac{11}{20}

b)

\frac{10}{18} = \frac{5}{9}

c)

\frac{18}{40} = \frac{9}{20}

d)

\frac{14}{20} = \frac{7}{10}

Tổng số học sinh của lớp:

16 + 11 + 10 + 3 = 40 \text{ học sinh}

a) Tính tỉ lệ phần trăm

• Học sinh Tốt:

\frac{16}{40} \times 100\% = 40\%

• Học sinh Khá:

\frac{11}{40} \times 100\% = 27,5\%

b) Kiểm tra tỉ lệ Chưa đạt

\frac{3}{40} \times 100\% = 7,5\%

Vì 7,5% > 7% nên cô giáo nói đúng.

Ta có

B = 3x^2 + 3y^2 + z^2 + 5xy - 3yz - 3xz - 2x - 2y + 3.

Nhận thấy

3x^2 + 3y^2 + 5xy = (x+y)^2 + 2x^2 + 2y^2 + 3xy

Ta nhóm khéo để hoàn thành bình phương:

B = (x+y-1)^2 + (x+y-z)^2 + (x-y)^2.

(Việc khai triển ra sẽ thu lại đúng biểu thức ban đầu.)

Vì các bình phương luôn ≥ 0 nên

B \ge 0.

Dấu “=” xảy ra khi

\begin{cases} x+y-1=0\\ x+y-z=0\\ x-y=0 \end{cases}

Giải ra được:

x=y=\frac12,\quad z=1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là0

Ta có

B = 3x^2 + 3y^2 + z^2 + 5xy - 3yz - 3xz - 2x - 2y + 3.

Nhận thấy

3x^2 + 3y^2 + 5xy = (x+y)^2 + 2x^2 + 2y^2 + 3xy

Ta nhóm khéo để hoàn thành bình phương:

B = (x+y-1)^2 + (x+y-z)^2 + (x-y)^2.

(Việc khai triển ra sẽ thu lại đúng biểu thức ban đầu.)

Vì các bình phương luôn ≥ 0 nên

B \ge 0.

Dấu “=” xảy ra khi

\begin{cases} x+y-1=0\\ x+y-z=0\\ x-y=0 \end{cases}

Giải ra được:

x=y=\frac12,\quad z=1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là0

Ta có

B = 3x^2 + 3y^2 + z^2 + 5xy - 3yz - 3xz - 2x - 2y + 3.

Nhận thấy

3x^2 + 3y^2 + 5xy = (x+y)^2 + 2x^2 + 2y^2 + 3xy

Ta nhóm khéo để hoàn thành bình phương:

B = (x+y-1)^2 + (x+y-z)^2 + (x-y)^2.

(Việc khai triển ra sẽ thu lại đúng biểu thức ban đầu.)

Vì các bình phương luôn ≥ 0 nên

B \ge 0.

Dấu “=” xảy ra khi

\begin{cases} x+y-1=0\\ x+y-z=0\\ x-y=0 \end{cases}

Giải ra được:

x=y=\frac12,\quad z=1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là0

Ta có

B = 3x^2 + 3y^2 + z^2 + 5xy - 3yz - 3xz - 2x - 2y + 3.

Nhận thấy

3x^2 + 3y^2 + 5xy = (x+y)^2 + 2x^2 + 2y^2 + 3xy

Ta nhóm khéo để hoàn thành bình phương:

B = (x+y-1)^2 + (x+y-z)^2 + (x-y)^2.

(Việc khai triển ra sẽ thu lại đúng biểu thức ban đầu.)

Vì các bình phương luôn ≥ 0 nên

B \ge 0.

Dấu “=” xảy ra khi

\begin{cases} x+y-1=0\\ x+y-z=0\\ x-y=0 \end{cases}

Giải ra được:

x=y=\frac12,\quad z=1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là0

Ta có

B = 3x^2 + 3y^2 + z^2 + 5xy - 3yz - 3xz - 2x - 2y + 3.

Nhận thấy

3x^2 + 3y^2 + 5xy = (x+y)^2 + 2x^2 + 2y^2 + 3xy

Ta nhóm khéo để hoàn thành bình phương:

B = (x+y-1)^2 + (x+y-z)^2 + (x-y)^2.

(Việc khai triển ra sẽ thu lại đúng biểu thức ban đầu.)

Vì các bình phương luôn ≥ 0 nên

B \ge 0.

Dấu “=” xảy ra khi

\begin{cases} x+y-1=0\\ x+y-z=0\\ x-y=0 \end{cases}

Giải ra được:

x=y=\frac12,\quad z=1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là0

Ta có

H(x,y)=x^2+y^2-xy-x+y+1.

Bước 1: Tính đạo hàm riêng

\frac{\partial H}{\partial x}=2x-y-1

\frac{\partial H}{\partial y}=2y-x+1

Cho hai đạo hàm bằng 0:

\begin{cases} 2x-y=1 \\ -\,x+2y=-1 \end{cases}

Bước 2: Giải hệ

Từ 2x-y=1 \Rightarrow y=2x-1

Thay vào phương trình dưới:

-x+2(2x-1)=-1

-x+4x-2=-1

3x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{3}

y=2x-1=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}

Bước 3: Tính giá trị nhỏ nhất

H\left(\frac13,-\frac13\right) = \frac19+\frac19+\frac19-\frac13-\frac13+1

= \frac{1}{3}+\frac{1}{3} = \frac{2}{3}

✅ Giá trị nhỏ nhất của H(x,y) là:

\boxed{\frac{2}{3}}

Đạt được tại \left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right).