cần chứng minh D B F ^ = E B C ^ DBF = EBC .Ta có D B C ^ DBC được chia bởi tia BH thành hai góc bằng nhau D B H ^ = C B H ^ DBH = CBH . Xét Δ D B F ΔDBF và Δ E B C ΔEBC.Có thể không đồng dạng. Sử dụng định lí sin trong các tam giác:Trong Δ D B F ΔDBF: D F sin ⁡ ( D B F ^ ) = D B sin ⁡ ( D F B ^ ) sin( DBF ) DF ​ = sin( DFB ) DB ​ Trong Δ E B C ΔEBC: E C sin ⁡ ( E B C ^ ) = B C sin ⁡ ( B E C ^ ) sin( EBC ) EC ​ = sin( BEC ) BC ​ Do B C = D B BC=DB, ta cần chứng minh D F sin ⁡ ( D F B ^ ) = E C sin ⁡ ( B E C ^ ) sin( DFB ) DF ​ = sin( BEC ) EC ​ . Ta có A F F D = A E E C ⇒ A F F D + 1 = A E E C + 1 FD AF ​ = EC AE ​ ⇒ FD AF ​ +1= EC AE ​ +1 A F + F D F D = A E + E C E C ⇒ A D F D = A C E C FD AF+FD ​ = EC AE+EC ​ ⇒ FD AD ​ = EC AC ​ . F D E C = A D A C EC FD ​ = AC AD ​

Qua A A vẽ đường thẳng song song với B C BC cắt B B ′ BB ′ tại D D và cắt C C ′ CC ′ tại E E. Khi đó Δ A M E ΔAME có A E AE // A ′ C A ′ C suy ra A M A ′ M = A E A ′ C A ′ M AM ​ = A ′ C AE ​ (1) Δ A M D ΔAMD có A D AD // A ′ B A ′ B suy ra A M A ′ M = A D A ′ B A ′ M AM ​ = A ′ B AD ​ (2) Từ (1) và (2) ta có A M A ′ M = A E A ′ C = A D A ′ B = A D + A E A ′ C + A ′ B = D E B C A ′ M AM ​ = A ′ C AE ​ = A ′ B AD ​ = A ′ C+A ′ B AD+AE ​ = BC DE ​ (*) Chứng minh tương tự ta cũng có: Δ A B ′ D ΔAB ′ D có A D AD // B C BC suy ra A B ′ B ′ C = A D B C B ′ C AB ′ ​ = BC AD ​ (3) Δ A C ′ E ΔAC ′ E có A E AE // B C BC suy ra A C ′ C ′ B = A E B C C ′ B AC ′ ​ = BC AE ​ (4) Từ (3) và (4) ta có A B ′ B ′ C + A C ′ B C ′ = A D B C + A E B C = D E B C B ′ C AB ′ ​ + BC ′ AC ′ ​ = BC AD ​ + BC AE ​ = BC DE ​ (**) Từ (*) và (**) ta có A M A ′ M = D E B C = A B ′ B ′ C + A C ′ B C ′ A ′ M AM ​ = BC DE ​ = B ′ C AB ′ ​ + BC ′ AC ′ ​ (đpcm).