Gọi v là tốc độ lúc đi (km/h)

Vậy tốc độ lúc về là v -10 (km/h)

Thời gian đi là 60/v ( giờ)

Thời gian về là 60/v-10 (giờ)

Thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 30 phút = 0.5 giờ

a, quy đồng và khử mẫu

x+6/x+5 + 3/2 = 2

--> 2 (x+6)/2(x+5) + 3 (x+5)/2 (x+5) = 4(x+5)/2 (x+5)

--> 2(x+6) +3 (x+5) = 4 (x+5)

Rút gọn và giải phương trình

2x+12+3x+15 = 4x+20

5x+27 = 4x+ 20

5x - 4x = 20-27

x = -7 (TMĐK )

b, { -5 (x+3y) = -5 (-2)

{5x+8y=11

--> {-5x - 15y = 10

{5x+8y=11

1 So sánh các giá trị lượng giác:

Để so sánh sin 35° và cos 55°,ta sử dụng công thức sin@ = (90° - @ )

Vậy sin 35° =cos (90° - 35° ) = cos 55°

Do đó sin 35° = cos 55°

Để so sánh tan 28° và cot 62°,ta sử dụng công thức tan@ = cot (90° - @)

Vậy tan28° = cot (90°-28°) = cot 62°

Do đó tan28° = cot 62°

Xét ∆ABC vuông tại B,ta có:

tan góc BAC = BC/AB = 2/2,5 = 0,8 (tỉ số lượng giác của góc nhọn D) suy ra góc BAC ~ 38,7°

Ta có: góc BAC = góc BAC + góc CAD = 38,7° +20° = 58,7°

Xét ∆ABD vuông tại B,ta có:

tan góc BAD = BD/AB ( tỉ số lượng giác của góc nhọn)

Suy ra BD=AB. tan góc BAD =2,5.tan. 58,7° ~ 4,1m

CD= BD - BC = 4,1 - 2 = 2,1m

Vậy độ dài vùng được chiếu trên mặt đất là 2,1m

Phân tích biểu thức đã cho,ta có biểu thức:

4x⁸ - 2x⁷ + x⁶ - 3x⁴ + x² - x + 1

Chứng minh biểu thức tương đương. Ta sẽ khai triển và đơn giản hoá biểu thức

x⁶ (x-1)² + 3 (x⁴-1/2)² + (x-1/2)²

Biến đổi biểu thức ban đầu để đưa về dạng tổng các bình phương,ta có:

x²+y²+xy-3x-3y+3=x² + x (y-3) + y² -3y+3

Hoàn thiện bình phương đối với biến x:

x² + x(y-3) + y² - 3y+3 = (x+y-3/2)² - (y-3/2)² + y² - 3y +3

Áp dụng bất đẳng thức √x²+y² ≥ x+y/√2 cho từng căn thức

Ta có

a²-ab+b² = 3/4 (a+b)² + 1/4 (a-b)² ≥ 3/4 (a+b)²

Suy ra √a²-ab+b² ≥ √3/2 (a+b)

Tương tự, √b²-bc-c² ≥ √3/2 (b+c) và √c²-ca+a² ≥ √3/2 (c+a)

Cộng các bất đẳng thức trên,ta được:

√a²-ab+b² + √b²-bc+c² + √c²-ca+a² ≥ √3/2 (a+b) + √3/2 (b+c) + √3/2 (c+a) = √3 (a+b+c) = 3√3

Tuy nhiên,3√3 ~ 5.196 > 3,nhưng cách này không chứng minh được ≥ 3

Chứng minh a²-ab+b2 ≥ 0. Ta có thể viết lại biểu thức như sau:

a²-ab+b²=a²-ab+1/4b² + 3/4b² = (a-1/2b)² + 3/4b²

Vì (a-1/2b)² ≥ 0 và 3/4b² ≥ 0 với mọi a,b ∈ R, nên (a-1/2b)² + 3/4b² ≥ 0

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

(a-1/2b)² = 0 và 3/4b² = 0, tức là a-1/2b= 0 và b =0. Từ đó suy ra a=0

Vậy a²-ab+b² ≥ 0. Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=0

Chia cả 2 vế của bất đẳng thức:

a+b+c+ab+bc+ac=6abc cho abc,ta được:

a/abc+b/abc+c/abc+ab/abc+bc/abc+ca/abc=6abc/abc

1/bc+1/ac+1/ab+1/c+1/a+1/b=6

1/a+1/b+1/c+1/ab+1/bc+1/ca = 6

Đặt x=1/a, y=1/b, z = 1/c. Khi đó đẳng thức trở thành:

x+y+z+xy+yz+zx=6

Sắp xếp lại các nhân tử để tạo thành các biểu thức có dạng tương tự,ta có: (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) +1 = [(x-1) (x-4)] [(x-2) (x-3)] +1= (x²-5x+4) (x²-5x+6) +1 Đặt t=x²-5x. Khi đó, biểu thức trở thành: (t+4) (t+6)+1 =t²+10t+24+1=t²+10t+25 Nhận thấy t²+10t+25 là một bình phương hoàn chỉnh: t²+10t+25=(t+5)² Thay t=x²-5x trở lại,ta có: (t+5)²= (x²-5x+5²) Vì bình phương của một số thực luôn không âm, nên (x²-5x+5)² ≥ 0 với mọi x ∈ R