Đặt các hiệu số sau:

a = y - x

b = z - y

Do điều kiện z \ge y \ge x \ge 0, ta có: a \ge 0 và b \ge 0.

Từ đó, ta biểu diễn y, z và các hiệu số khác theo x, a, b:

y = x + a

z = y + b = x + a + b

y - x = a

z - y = b

z - x = (z - y) + (y - x) = b + a

x - y = -a

x - z = -(a + b)

Thay các biểu thức này vào P:

P = x(x - y)(x - z) + y(y - z)(y - x) + z(z - x)(z - y)

P = x(-a) (-(a+b)) + (x+a)(b)(a) + (x+a+b)(a+b)(b)

P = x a (a + b) + a b (x + a) + b (a + b) (x + a + b)

P = (xa^2 + xab) + (abx + a^2 b) + (ab + b^2)(x + a + b)

P = xa^2 + 2xab + a^2 b + (xab + a^2 b + ab^2 + xb^2 + ab^2 + b^3)

P = xa^2 + 2xab + a^2 b + xab + a^2 b + 2ab^2 + xb^2 + b^3

Gom các hạng tử có chứa x:

P = x(a^2 + 2ab + ab + b^2) + (a^2 b + a^2 b + 2ab^2 + b^3)

P = (y-x)^2 (x + y - z) + z(z - x)(z - y)

Thay a = y-x và b = z-y (với z \ge y \ge x \ge 0, nên a \ge 0, b \ge 0):

y - x = a

z - y = b

z - x = a + b

z = x + a + b

x + y - z = x + (x+a) - (x+a+b) = x - b

Thay vào công thức rút gọn:

P = a^2 (x - b) + (x + a + b) (a + b) b

P = a^2 x - a^2 b + (x + a + b) (ab + b^2)

P = a^2 x - a^2 b + [x(ab + b^2) + a(ab + b^2) + b(ab + b^2)]

P = a^2 x - a^2 b + [xab + xb^2 + a^2 b + ab^2 + ab^2 + b^3]

Các hạng tử -a^2 b và +a^2 b triệt tiêu lẫn nhau:

P = a^2 x + xab + xb^2 + 2ab^2 + b^3

P = a^2 x + xab + xb^2 + 2ab^2 + b^3

Nhóm các hạng tử chứa x:

Vì z \ge y \ge x \ge 0, ta có x \ge 0, a = y-x \ge 0, và b = z-y \ge 0.

Do đó:

x \ge 0 và a^2 + ab + b^2 \ge 0 \implies x(a^2 + ab + b^2) \ge 0.

2ab^2 \ge 0.

b^3 \ge 0.

Vậy P là tổng của các số hạng không âm, suy ra:

P = x(a^2 + ab + b^2) + 2ab^2 + b^3 \ge 0

Bất đẳng thức đã được chứng minh.

Điều kiện dấu đẳng thức xảy ra

Dấu đẳng thức P = 0 xảy ra khi và chỉ khi tất cả các số hạng không âm bằng 0:

x(a^2 + ab + b^2) = 0

2ab^2 = 0

b^3 = 0

Từ (3), suy ra b = 0.

Vì b = z - y, nên \mathbf{z = y}.

Thay b=0 vào (2), ta được 2a(0)^2 = 0, luôn đúng.

Thay b=0 vào (1): x(a^2 + a(0) + 0^2) = 0 \implies xa^2 = 0.

Vì x \ge 0 và a^2 \ge 0, điều này xảy ra khi và chỉ khi x=0 hoặc a=0.

Trường hợp 1: x=0. Kết hợp với z=y, ta được x=0 và y=z.

Trường hợp 2: a=0. Vì a = y-x, nên y=x. Kết hợp với z=y, ta được x=y=z.

Tóm lại, dấu đẳng thức xảy ra khi \mathbf{x=y=z} hoặc \mathbf{x=0} và \mathbf{y=z}.

Câu 1 văn bản trên được viết theo thể thơ lục bát

câu 2giặc xông vào túp lều tra hỏi, đe dọa bà má để dò la tin tức về du kích

Câu 3: thể hiện qua việc chúng dã man, xúc phạm thân thể người mẹ già khi "giậm gót giày", "đạp lên đầu má" và "tố cáo trực diện tội ác giết hại dân lành và xâm lược đất nước

Câu 4Hai dòng thơ "" sử dụng biện pháp tu từ ẩn dụ chuyển đổi cảm giác, với tác dụng là nhấn mạnh sự dũng cảm của con người, làm cho hình ảnh con người trở nên sống động và mạnh mẽ hơn. 

Câu