a) t > -5. b) x ≥ 16. c) Với y (đồng) là mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động, ta có bất đẳng thức y ≥ 20 000. d) y > 0.

Nếu x < 1 thì x⁸ − x⁷ + x² − x + 1 = x⁸ + x²(1 − x⁵) + (1 − x) > 0 vì khi x < 1 ta có (1 − x⁵) > 0 và (1 − x) > 0. Nếu x ≥ 1 thì x⁸ − x⁷ + x² − x + 1 = x⁷(x − 1) + x(x − 1) + 1 > 0 vì (x − 1) ≥ 0 nên các hạng tử không âm, và có thêm +1 nên biểu thức dương. Vậy với mọi x > 0, ta luôn có x⁸ − x⁷ + x² − x + 1 > 0.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2(a²b² + b²c² + c²a²) ≥ 2(ab + bc + ca). Xét hiệu giữa hai vế: 2(a²b² + b²c² + c²a²) − 2(ab + bc + ca) = (ab − bc)² + (bc − ca)² + (ca − ab)² ≥ 0. Do đó, bất đẳng thức đã cho luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab = bc = ca, tức là a = b = c.

Nhân hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh với (x + y), ta được bất đẳng thức tương đương: x⁵ + y⁵ > (x² + y²)(x + y) (1) Vì x > √2 nên x² > 2 ⇒ x⁵ > 2x³. Suy ra: x⁵ + y⁵ > 2(x³ + y³) = 2(x² − xy + y²)(x + y) = [(x − y)² + (x² + y²)](x + y) ≥ (x² + y²)(x + y). Vậy (1) đúng, tức là điều phải chứng minh được thỏa mãn.

Chú ý rằng x + y = 1 nên (1 + 1/x)(1 + 1/y) − 9 = (x + 1)(y + 1) / (xy) − 9 = (xy + x + y + 1 − 9xy) / (xy) = (x + y + 1 − 8xy) / (xy) = (1 + 1 − 8xy) / (xy) = 2(1 − 4xy) / (xy). Mà (x + y)² − 4xy = (x − y)², nên 2(1 − 4xy) / (xy) = 2((x + y)² − 4xy) / (xy) = 2(x − y)² / (xy) ≥ 0. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1/2.

Chú ý rằng 1 + 4 = 2 + 3, ta đặt t = (x − 1)(x − 4) = x² − 5x + 4. Khi đó: (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6 = t + 2. Suy ra: (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) + 1 = t(t + 2) + 1 = t² + 2t + 1 = (t + 1)² ≥ 0. Dấu bằng xảy ra khi t = −1, tức là: x² − 5x + 4 = −1 ⇔ x² − 5x + 5 = 0. Vậy x = (5 ± √5) / 2.

Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh là x⁶(x − 1)² + 3(x⁴ − 1/2)² + (x − 1/2)². Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Giả thiết tương đương với: 1/a + 1/b + 1/c + 1/ab + 1/bc + 1/ca = 6 (1) Ta có: (1/a − 1)² ≥ 0 ⇒ 1/a² + 1 ≥ 2/a Cộng tương tự cho a, b, c ta được: 1/a² + 1/b² + 1/c² ≥ 2(1/a + 1/b + 1/c) − 3 (2) Lại có: 1/a² + 1/b² ≥ 2/(ab), 1/b² + 1/c² ≥ 2/(bc), 1/c² + 1/a² ≥ 2/(ca). Cộng ba bất đẳng thức này, ta được: 2(1/a² + 1/b² + 1/c²) ≥ 2(1/ab + 1/bc + 1/ca) (3) Cộng (2) và (3) theo vế: 3(1/a² + 1/b² + 1/c²) ≥ 2(1/a + 1/b + 1/c + 1/ab + 1/bc + 1/ca) − 3 Theo giả thiết (1), ta có: 3(1/a² + 1/b² + 1/c²) ≥ 2×6 − 3 = 9 Suy ra: 1/a² + 1/b² + 1/c² ≥ 3.

Ta có: x² + y² + xy − 3x − 3y + 3 = (x − 1)² + (y − 1)² + xy + 1 − x − y = (x − 1)² + (y − 1)² + (x − 1)(y − 1) ≥ 0

(do a² + ab + b² = ¼(4a² + 4ab + 4b²) = ¼(2a + b)² + ¾b² ≥ 0)

Ta có: a² − ab + b² = ¼(a + b)² + ¾(a − b)² ≥ ½(a + b). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b. Tương tự: b² − bc + c² ≥ ½(b + c) và c² − ca + a² ≥ ½(c + a). Cộng ba bất đẳng thức này lại, ta được: (a² − ab + b²) + (b² − bc + c²) + (c² − ca + a²) ≥ ½[(a + b) + (b + c) + (c + a)] = ½ × 2(a + b + c) = a + b + c = 3. Vậy: a² − ab + b² + b² − bc + c² + c² − ca + a² ≥ 3. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = (a + b + c)/3 = 1.