Kết luận: Vậy, nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (7; -3).

Vận tốc lúc về của người đó là 30 \text{ km/h}

Bất đẳng thức:t > -5 ​Bất đẳng thức:x \ge 16y > 0

Bất đẳng thức:t > -5 ​Bất đẳng thức:x \ge 16y > 0

?

Ta sẽ biến đổi vế trái của bất đẳng thức (VT) thành tổng của các bình phương. ​Cách 1: Phân tích trực tiếp (dùng phương pháp tách biến)VT = x^2 + x(y - 3) + (y^2 - 3y + 3)VT = \left[ x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{y-3}{2} + \left(\frac{y-3}{2}\right)^2 \right] - \left(\frac{y-3}{2}\right)^2 + y^2 - 3y + 3VT = \left( x + \frac{y-3}{2} \right)^2 - \frac{y^2 - 6y + 9}{4} + \frac{4y^2 - 12y + 12}{4}VT = \left( x + \frac{y-3}{2} \right)^2 + \frac{4y^2 - 12y + 12 - (y^2 - 6y + 9)}{4}VT = \left( x + \frac{y-3}{2} \right)^2 + \frac{3(y^2 - 2y + 1)}{4}VT2VT = 2x^2 + 2y^2 + 2xy - 6x - 6y + 62VT = (x^2 + 2xy + y^2) + x^2 + y^2 - 6x - 6y + 6Ta phân tích biểu thức thành tổng các bình phương:a^2 + ab + b^2 = \left( a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + \left(\frac{b}{2}\right)^2 \right) - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + b^22VT = (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) + 2(xy - 2x - 2y + 2) + 2x^2 + 2y^2 + 2xy - 6x - 6y + 6a\left( x + \frac{y-3}{2} \right)^2 = 0 \quad \text{VÀ} \quad \frac{3(y-1)^2}{4} = 0Thay y=1 vào phương trình thứ hai:x + \frac{1-3}{2} = 0 \implies x + \frac{-2}{2} = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1Coi VT là một tam thức bậc hai theo biến x và hoàn thành bình phương cho x:

Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức phụ ​Ta đã chứng minh được ở Bài 2 (2) rằng:Vì a, b là các số dương, lấy căn bậc hai hai vế, ta được: \sqrt{a^2 - ab + b^2} \geq \sqrt{\frac{1}{4}(a+b)^2} = \frac{1}{2}|a+b| = \frac{a+b}{2}\sqrt{a^2 - ab + b^2} + \sqrt{b^2 - bc + c^2} + \sqrt{c^2 - ca + a^2} \geq \frac{a+b}{2} + \frac{b+c}{2} + \frac{c+a}{2}VT \geq a+b+cVT\begin{cases} a = b \\ b = c \\ c = a \end{cases}a = b = c = 1Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức phụ cho từng căn thức

​Đặt biểu thức cần chứng minh là E. Vì z \ge y \ge x \ge 0, ta đặt các biến không âm sau: ​a = x ​b = y - x ​c = z - y ​Với a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0. ​Ta có thể biểu diễn x, y, z theo a, b, c: ​x = a ​y = x + b = a + b ​z = y + c = a + b + c ​Thay các biến này vào biểu thức E: ​Xét hạng tử thứ nhất: A = x(x - y)(x - z) ​\begin{aligned} A &= a(a - (a + b))(a - (a + b + c)) \\ &= a(-b)(-b - c) \\ &= a(-b)(-(b + c)) \\ &= ab(b + c) \\ &= ab^2 + abc \end{aligned} ​Xét hạng tử thứ hai: B = y(y - z)(y - x) ​\begin{aligned} B &= (a + b)((a + b) - (a + b + c))((a + b) - a) \\ &= (a + b)(-c)(b) \\ &= -bc(a + b) \\ &= -abc - b^2c \end{aligned} ​Xét hạng tử thứ ba: C = z(z - x)(z - y) ​\begin{aligned} C &= (a + b + c)((a + b + c) - a)((a + b + c) - (a + b)) \\ &= (a + b + c)(b + c)(c) \\ &= c(b + c)(a + b + c) \\ &= c[ab + ac + b^2 + bc + cb + c^2] \\ &= abc + ac^2 + b^2c + 2bc^2 + c^3 \end{aligned} ​Cộng các hạng tử lại: E = A + B + Ca^2 - ab + b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + b^2= \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4} + b^2= \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4}\left(a - \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4} \ge 0\mathbf{a^2 - ab + b^2 \ge 0}= a^2 - ab + b^2 - \frac{1}{4}(a^2 + 2ab + b^2)= \left(a^2 - \frac{1}{4}a^2\right) + \left(b^2 - \frac{1}{4}b^2\right) + \left(-ab - \frac{1}{2}ab\right)= a^2 - ab + b^2 - \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{4}b^2= \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{4}b^2 - \frac{3}{2}ab= \frac{3}{4}(a^2 + b^2 - 2ab)Đặt \frac{3}{4} ra ngoài:= \frac{3}{4}(a - b)^2VTDo đó:VT \ge VP\frac{3}{4}(a - b)^2 = 0 \Leftrightarrow (a - b)^2 = 0 \Leftrightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow \mathbf{a = b}\mathbf{a^2 - ab + b^2 \ge \frac{1}{4}(a + b)^2}Chứng minh \mathbf{a^2 - ab + b^2 \ge 0}

​Đặt biểu thức cần chứng minh là E. Vì z \ge y \ge x \ge 0, ta đặt các biến không âm sau: ​a = x ​b = y - x ​c = z - y ​Với a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0. ​Ta có thể biểu diễn x, y, z theo a, b, c: ​x = a ​y = x + b = a + b ​z = y + c = a + b + c ​Thay các biến này vào biểu thức E: ​Xét hạng tử thứ nhất: A = x(x - y)(x - z) ​\begin{aligned} A &= a(a - (a + b))(a - (a + b + c)) \\ &= a(-b)(-b - c) \\ &= a(-b)(-(b + c)) \\ &= ab(b + c) \\ &= ab^2 + abc \end{aligned} ​Xét hạng tử thứ hai: B = y(y - z)(y - x) ​\begin{aligned} B &= (a + b)((a + b) - (a + b + c))((a + b) - a) \\ &= (a + b)(-c)(b) \\ &= -bc(a + b) \\ &= -abc - b^2c \end{aligned} ​Xét hạng tử thứ ba: C = z(z - x)(z - y) ​\begin{aligned} C &= (a + b + c)((a + b + c) - a)((a + b + c) - (a + b)) \\ &= (a + b + c)(b + c)(c) \\ &= c(b + c)(a + b + c) \\ &= c[ab + ac + b^2 + bc + cb + c^2] \\ &= abc + ac^2 + b^2c + 2bc^2 + c^3 \end{aligned} ​Cộng các hạng tử lại: E = A + B + C