Ta có \(x^{2} + y^{2} + x y - 3 x - 3 y + 3\)

\(= \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} + x y + 1 - x - y\)

\(= \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. y - 1 \left.\right) \geq 0\)                       

(do \(a^{2} + a b + b^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} \left.\right) = \frac{1}{4} \left(\right. 2 a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} b^{2} \geq 0\))

Ta có \(x^{2} + y^{2} + x y - 3 x - 3 y + 3\)

\(= \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} + x y + 1 - x - y\)

\(= \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. y - 1 \left.\right) \geq 0\)                       

(do \(a^{2} + a b + b^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} \left.\right) = \frac{1}{4} \left(\right. 2 a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} b^{2} \geq 0\))

Cho \(a\), \(b\), \(c\) là ba số dương thay đổi luôn có tổng bằng \(3\). Chứng minh rằng \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq 3\).

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. a - b \left.\right)^{2}} \&\text{nbsp}; \geq \frac{1}{2} \left(\right. a + b \left.\right)\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\).

Trương tự \(\sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} \geq \frac{1}{2} \left(\right. b + c \left.\right)\) và \(\sqrt{c^{2} - c a + c a} \geq \frac{1}{2} \left(\right. c + a \left.\right)\).

Từ đó \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq \frac{1}{2} \left(\right. a + b + b + c + c + a \left.\right)\)

\(= \left(\right. a + b + c \left.\right) = 3\)                                                                           

Vậy \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq 3\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{a + b + c}{3} = 1\).

Cho \(a\), \(b\), \(c\) là ba số dương thay đổi luôn có tổng bằng \(3\). Chứng minh rằng \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq 3\).

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. a - b \left.\right)^{2}} \&\text{nbsp}; \geq \frac{1}{2} \left(\right. a + b \left.\right)\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\).

Trương tự \(\sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} \geq \frac{1}{2} \left(\right. b + c \left.\right)\) và \(\sqrt{c^{2} - c a + c a} \geq \frac{1}{2} \left(\right. c + a \left.\right)\).

Từ đó \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq \frac{1}{2} \left(\right. a + b + b + c + c + a \left.\right)\)

\(= \left(\right. a + b + c \left.\right) = 3\)                                                                           

Vậy \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq 3\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{a + b + c}{3} = 1\).

Bài 1

Cho ba số \(x , y , z\) thỏa mãn điều kiện \(z \geq y \geq x \geq 0\). Chứng minh rằng \(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) + y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\).

Từ giả thiết \(z \geq y \geq x \geq 0\) suy ra \(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) \geq 0\) (1).

Hai số hạng còn lại của vế trái bất đẳng thức cần chứng minh có nhân tử chung \(z - y \geq 0\) (2) 

và ta có \(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) = \left(\right. z - y \left.\right) \left[\right. z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right.\) (3)

Mà \(z \geq y \geq x \geq 0\) nên \(z \geq y \geq 0\) và \(z - x \geq y - x \geq 0\), từ đó  

\(z \left(\right. z - x \left.\right) \geq y \left(\right. y - x \left.\right)\) nên \(z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \geq 0\) (4)

Từ (2) và (4) suy ra  \(\left(\right. z - y \left.\right) \left[\right. z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right. \geq 0\), kết hợp với (3) suy ra 

\(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\) (5).

Từ (1) và (5) suy ra điều phải chứng minh.

Bài 2

Cho \(a\), \(b\) là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

1) \(a^{2} - a b + b^{2} \geq 0\). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

2) \(a^{2} - a b + b^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Hướng dẫn giải:

1) Có \(a^{2} - a b + b^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 a^{2} - 4 a b + 4 b^{2} \left.\right) = \frac{1}{4} \left(\right. 2 a - b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} b^{2} \geq 0\).

hay \(a = b = 0\).

2) Có \(a^{2} - a b + b^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 a^{2} - 4 a b + 4 b^{2} \left.\right)\)

\(= \frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. a - b \left.\right)^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\).

Từ giả thiết \(z \geq y \geq x \geq 0\) suy ra \(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) \geq 0\) (1).

Hai số hạng còn lại của vế trái bất đẳng thức cần chứng minh có nhân tử chung \(z - y \geq 0\) (2) 

và ta có \(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) = \left(\right. z - y \left.\right) \left[\right. z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right.\) (3)

Mà \(z \geq y \geq x \geq 0\) nên \(z \geq y \geq 0\) và \(z - x \geq y - x \geq 0\), từ đó  

\(z \left(\right. z - x \left.\right) \geq y \left(\right. y - x \left.\right)\) nên \(z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \geq 0\) (4)

Từ (2) và (4) suy ra  \(\left(\right. z - y \left.\right) \left[\right. z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right. \geq 0\), kết hợp với (3) suy ra 

\(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\) (5).

Từ (1) và (5) suy ra điều phải chứng minh.

Từ giả thiết \(z \geq y \geq x \geq 0\) suy ra \(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) \geq 0\) (1).

Hai số hạng còn lại của vế trái bất đẳng thức cần chứng minh có nhân tử chung \(z - y \geq 0\) (2) 

và ta có \(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) = \left(\right. z - y \left.\right) \left[\right. z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right.\) (3)

Mà \(z \geq y \geq x \geq 0\) nên \(z \geq y \geq 0\) và \(z - x \geq y - x \geq 0\), từ đó  

\(z \left(\right. z - x \left.\right) \geq y \left(\right. y - x \left.\right)\) nên \(z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \geq 0\) (4)

Từ (2) và (4) suy ra  \(\left(\right. z - y \left.\right) \left[\right. z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right. \geq 0\), kết hợp với (3) suy ra 

\(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\) (5).

Từ (1) và (5) suy ra điều phải chứng minh.

Nhân vật bà má trong văn bản “Bà má Hậu Giang” là hình ảnh tiêu biểu cho người phụ nữ Nam Bộ kiên cường, giàu lòng yêu nước và đầy đức hy sinh trong kháng chiến chống Mỹ. Bà không chỉ là một người mẹ trong gia đình mà còn là người mẹ của cách mạng, che chở, nuôi giấu cán bộ, tiếp tế lương thực, góp phần quan trọng vào cuộc đấu tranh giải phóng dân tộc. Qua ngòi bút chân thực và cảm động của tác giả, bà má hiện lên với vẻ ngoài chất phác, giọng nói đậm chất miền Tây, nhưng ẩn chứa bên trong là tấm lòng kiên trung, gan góc và đầy tình nghĩa. Bà coi những người chiến sĩ như con ruột, sẵn sàng đặt tính mạng mình để bảo vệ họ. Hành động và lời nói của bà đều toát lên tinh thần bất khuất, niềm tin mãnh liệt vào thắng lợi của cách mạng. Nhân vật bà má không chỉ góp phần khắc họa vẻ đẹp của người phụ nữ Việt Nam thời chiến mà còn thể hiện sức mạnh to lớn từ nhân dân, từ hậu phương vững chắc. Bà chính là biểu tượng sống động cho tình yêu nước, lòng trung thành và đức hy sinh cao cả.