Biểu thức \(4x^{8}-2x^{7}+x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1\) có thể được phân tích thành tổng của các bình phương như sau:\(4x^{8}-2x^{7}+x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1=(2x^{4}-x^{3})^{2}+(x^{3}-x)^{2}+(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\)Vì: \((2x^{4}-x^{3})^{2}\ge 0\) với mọi số thực \(x\).\((x^{3}-x)^{2}\ge 0\) với mọi số thực \(x\).\((x-\frac{1}{2})^{2}\ge 0\) với mọi số thực \(x\).\(\frac{3}{4}>0\). Do đó, tổng của các số không âm và một số dương sẽ luôn lớn hơn 0.\((2x^{4}-x^{3})^{2}+(x^{3}-x)^{2}+(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0\)Vậy, bất đẳng thức \(4x^{8}-2x^{7}+x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1>0\) được chứng minh. 

Từ a + b + c + ab + ca + bc = 6abc ta có: 1 a + 1 b + 1 c + 1 a b + 1 b c + 1 c a = 6 Ta có: 1 a 2 + 1 ≥ 2 a ; 1 b 2 + 1 ≥ 2 b ; 1 c 2 + 1 ≥ 2 c Và 1 a 2 + 1 b 2 ≥ 2 a b ; 1 b 2 + 1 c 2 ≥ 2 b c ; 1 a 2 + 1 c 2 ≥ 2 a c Cộng các vế các BĐT trên ta có: 3 ( 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 ) ≥ 2 ( 1 a + 1 b + 1 c + 1 a b + 1 b c + 1 c a ) ⇔ 3 ( 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 ) ≥ 12 ⇔ 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 ≥ 4 ⇔ 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 ≥ 3 Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c = 1

Ta có:\((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1\)Sắp xếp lại các thừa số:\([(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]+1\)Nhân các cặp thừa số:\((x^{2}-5x+4)(x^{2}-5x+6)+1\)Đặt \(y=x^{2}-5x\), biểu thức trở thành:\((y+4)(y+6)+1=y^{2}+10y+24+1=y^{2}+10y+25=(y+5)^{2}\)Vì \((y+5)^{2}\ge 0\) với mọi số thực \(y\), nên \((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1\ge 0\) với mọi số thực \(x\).

Biểu thức \(4x^{8}-2x^{7}+x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1\) có thể được phân tích thành tổng của các bình phương như sau:\(4x^{8}-2x^{7}+x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1=(2x^{4}-x^{3})^{2}+(x^{3}-x)^{2}+(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\)Vì: \((2x^{4}-x^{3})^{2}\ge 0\) với mọi số thực \(x\).\((x^{3}-x)^{2}\ge 0\) với mọi số thực \(x\).\((x-\frac{1}{2})^{2}\ge 0\) với mọi số thực \(x\).\(\frac{3}{4}>0\). Do đó, tổng của các số không âm và một số dương sẽ luôn lớn hơn 0.\((2x^{4}-x^{3})^{2}+(x^{3}-x)^{2}+(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0\)Vậy, bất đẳng thức \(4x^{8}-2x^{7}+x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1>0\) được chứng minh. 

Từ a + b + c + ab + ca + bc = 6abc ta có: 1 a + 1 b + 1 c + 1 a b + 1 b c + 1 c a = 6 Ta có: 1 a 2 + 1 ≥ 2 a ; 1 b 2 + 1 ≥ 2 b ; 1 c 2 + 1 ≥ 2 c Và 1 a 2 + 1 b 2 ≥ 2 a b ; 1 b 2 + 1 c 2 ≥ 2 b c ; 1 a 2 + 1 c 2 ≥ 2 a c Cộng các vế các BĐT trên ta có: 3 ( 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 ) ≥ 2 ( 1 a + 1 b + 1 c + 1 a b + 1 b c + 1 c a ) ⇔ 3 ( 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 ) ≥ 12 ⇔ 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 ≥ 4 ⇔ 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 ≥ 3 Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c = 1

Ta có:\((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1\)Sắp xếp lại các thừa số:\([(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]+1\)Nhân các cặp thừa số:\((x^{2}-5x+4)(x^{2}-5x+6)+1\)Đặt \(y=x^{2}-5x\), biểu thức trở thành:\((y+4)(y+6)+1=y^{2}+10y+24+1=y^{2}+10y+25=(y+5)^{2}\)Vì \((y+5)^{2}\ge 0\) với mọi số thực \(y\), nên \((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1\ge 0\) với mọi số thực \(x\).

Biểu thức \(4x^{8}-2x^{7}+x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1\) có thể được phân tích thành tổng của các bình phương như sau:\(4x^{8}-2x^{7}+x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1=(2x^{4}-x^{3})^{2}+(x^{3}-x)^{2}+(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\)Vì: \((2x^{4}-x^{3})^{2}\ge 0\) với mọi số thực \(x\).\((x^{3}-x)^{2}\ge 0\) với mọi số thực \(x\).\((x-\frac{1}{2})^{2}\ge 0\) với mọi số thực \(x\).\(\frac{3}{4}>0\). Do đó, tổng của các số không âm và một số dương sẽ luôn lớn hơn 0.\((2x^{4}-x^{3})^{2}+(x^{3}-x)^{2}+(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0\)Vậy, bất đẳng thức \(4x^{8}-2x^{7}+x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1>0\) được chứng minh. 

Từ a + b + c + ab + ca + bc = 6abc ta có: 1 a + 1 b + 1 c + 1 a b + 1 b c + 1 c a = 6 Ta có: 1 a 2 + 1 ≥ 2 a ; 1 b 2 + 1 ≥ 2 b ; 1 c 2 + 1 ≥ 2 c Và 1 a 2 + 1 b 2 ≥ 2 a b ; 1 b 2 + 1 c 2 ≥ 2 b c ; 1 a 2 + 1 c 2 ≥ 2 a c Cộng các vế các BĐT trên ta có: 3 ( 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 ) ≥ 2 ( 1 a + 1 b + 1 c + 1 a b + 1 b c + 1 c a ) ⇔ 3 ( 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 ) ≥ 12 ⇔ 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 ≥ 4 ⇔ 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 ≥ 3 Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c = 1

Ta có:\((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1\)Sắp xếp lại các thừa số:\([(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]+1\)Nhân các cặp thừa số:\((x^{2}-5x+4)(x^{2}-5x+6)+1\)Đặt \(y=x^{2}-5x\), biểu thức trở thành:\((y+4)(y+6)+1=y^{2}+10y+24+1=y^{2}+10y+25=(y+5)^{2}\)Vì \((y+5)^{2}\ge 0\) với mọi số thực \(y\), nên \((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1\ge 0\) với mọi số thực \(x\).

Biểu thức \(4x^{8}-2x^{7}+x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1\) có thể được phân tích thành tổng của các bình phương như sau:\(4x^{8}-2x^{7}+x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1=(2x^{4}-x^{3})^{2}+(x^{3}-x)^{2}+(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\)Vì: \((2x^{4}-x^{3})^{2}\ge 0\) với mọi số thực \(x\).\((x^{3}-x)^{2}\ge 0\) với mọi số thực \(x\).\((x-\frac{1}{2})^{2}\ge 0\) với mọi số thực \(x\).\(\frac{3}{4}>0\). Do đó, tổng của các số không âm và một số dương sẽ luôn lớn hơn 0.\((2x^{4}-x^{3})^{2}+(x^{3}-x)^{2}+(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0\)Vậy, bất đẳng thức \(4x^{8}-2x^{7}+x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1>0\) được chứng minh.