ggg

ggg

ggg

sguzijrgfjks

Ta cần chứng minh bất đẳng thức:

\(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) + y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\)

với điều kiện:

\(z \geq y \geq x \geq 0\)

Bước 1: Gọi biểu thức cần chứng minh

Ký hiệu biểu thức là:

\(A = x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) + y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right)\)

Bước 2: Khai thác giả thiết:

Ta có:

\(z \geq y \geq x \geq 0 \Rightarrow \left(\right. x - y \left.\right) \leq 0 , \left(\right. x - z \left.\right) \leq 0 \left(\right. y - z \left.\right) \leq 0 , \left(\right. y - x \left.\right) \geq 0 \left(\right. z - x \left.\right) \geq 0 , \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\)

Ta xét từng hạng tử trong biểu thức \(A\):

1. Hạng tử thứ nhất: \(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right)\)

• \(x \geq 0\),
• \(x - y \leq 0\),
• \(x - z \leq 0\)
  ⇒ Tích \(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) \geq 0\) vì tích của hai số không dương là không âm.

⇒ \(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) \geq 0\)

2. Hạng tử thứ hai: \(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right)\)

• \(y \geq 0\),
• \(y - z \leq 0\),
• \(y - x \geq 0\)
  ⇒ Tích \(\left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) \leq 0\)

⇒ \(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) \leq 0\)

3. Hạng tử thứ ba: \(z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right)\)

• \(z \geq 0\),
• \(z - x \geq 0\),
• \(z - y \geq 0\)
  ⇒ Tích \(\left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\)

⇒ \(z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\)

Bước 3: Tổng ba hạng tử

Ta có:

• \(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) \geq 0\)
• \(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) \leq 0\)
• \(z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\)

Vậy biểu thức \(A\) là tổng của hai số không âm và một số không dương.

Tuy nhiên, để chứng minh tổng luôn không âm, ta cần xét kỹ hơn.

Bước 4: Đặt biến để đơn giản

Đặt:

\(a = x , b = y - x \geq 0 , c = z - y \geq 0 \Rightarrow y = a + b , z = a + b + c\)

Khi đó ta có:

• \(x = a\)
• \(y = a + b\)
• \(z = a + b + c\)

Thay vào biểu thức:

\(A = a \left(\right. a - \left(\right. a + b \left.\right) \left.\right) \left(\right. a - \left(\right. a + b + c \left.\right) \left.\right) + \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. \left(\right. a + b \left.\right) - \left(\right. a + b + c \left.\right) \left.\right) \left(\right. \left(\right. a + b \left.\right) - a \left.\right) + \left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. \left(\right. a + b + c \left.\right) - a \left.\right) \left(\right. \left(\right. a + b + c \left.\right) - \left(\right. a + b \left.\right) \left.\right)\)

Tính từng phần:

• \(a - \left(\right. a + b \left.\right) = - b\)
• \(a - \left(\right. a + b + c \left.\right) = - b - c\)
  → Hạng tử 1:

\(a \left(\right. - b \left.\right) \left(\right. - b - c \left.\right) = a b \left(\right. b + c \left.\right)\)

• \(\left(\right. a + b \left.\right) - \left(\right. a + b + c \left.\right) = - c\)
• \(\left(\right. a + b \left.\right) - a = b\)
  → Hạng tử 2:

\(\left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. - c \left.\right) \left(\right. b \left.\right) = - b c \left(\right. a + b \left.\right)\)

• \(\left(\right. a + b + c \left.\right) - a = b + c\)
• \(\left(\right. a + b + c \left.\right) - \left(\right. a + b \left.\right) = c\)
  → Hạng tử 3:

\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. b + c \left.\right) \left(\right. c \left.\right)\)

Biểu thức trở thành:

\(A = a b \left(\right. b + c \left.\right) - b c \left(\right. a + b \left.\right) + c \left(\right. b + c \left.\right) \left(\right. a + b + c \left.\right)\)

Rút gọn lại:

\(A = a b \left(\right. b + c \left.\right) - b c \left(\right. a + b \left.\right) + c \left(\right. b + c \left.\right) \left(\right. a + b + c \left.\right)\)

Dễ thấy tất cả các hạng tử đều không âm trừ hạng tử thứ hai. Nhưng biểu thức còn lại chứa bội số của \(c\), do đó ta nhóm lại:

\(A = a b \left(\right. b + c \left.\right) + c \left[\right. \left(\right. b + c \left.\right) \left(\right. a + b + c \left.\right) - b \left(\right. a + b \left.\right) \left]\right.\)

Chứng minh:

\(\left(\right. b + c \left.\right) \left(\right. a + b + c \left.\right) - b \left(\right. a + b \left.\right) \geq 0\)

Ta khai triển:

• \(\left(\right. b + c \left.\right) \left(\right. a + b + c \left.\right) = a b + b^{2} + b c + a c + c^{2}\)
• \(b \left(\right. a + b \left.\right) = a b + b^{2}\)

Hiệu là:

\(a b + b^{2} + b c + a c + c^{2} - \left(\right. a b + b^{2} \left.\right) = b c + a c + c^{2} \geq 0\)

Vì \(b , c , a \geq 0\)

⇒ Nhân với \(c \geq 0\), ta được:

\(c \left[\right. \left(\right. b + c \left.\right) \left(\right. a + b + c \left.\right) - b \left(\right. a + b \left.\right) \left]\right. \geq 0\)

Kết luận:

\(A = a b \left(\right. b + c \left.\right) + c \left[\right. \left(\right. b + c \left.\right) \left(\right. a + b + c \left.\right) - b \left(\right. a + b \left.\right) \left]\right. \geq 0\)

Vậy:

\(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) + y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\)

Đpcm. ✅

sguzijrgfjks

ggg

ggg