Sin35=cos55

Tan28 = cot62

40km/h

X=-1 y=2

X=3 y=-1

X > -5

Y = 16

C >20 000

Ta có x 2 + y 2 + x y − 3 x − 3 y + 3 x 2 +y 2 +xy−3x−3y+3 = ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + x y + 1 − x − y =(x−1) 2 +(y−1) 2 +xy+1−x−y = ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + ( x − 1 ) ( y − 1 ) ≥ 0 =(x−1) 2 +(y−1) 2 +(x−1)(y−1)≥0

X>1

Chứng minh bất đẳng thức sử dụng các tính chất Bài 1 Cho ba số x , y , z x,y,z thỏa mãn điều kiện z ≥ y ≥ x ≥ 0 z≥y≥x≥0. Chứng minh rằng x ( x − y ) ( x − z ) + y ( y − z ) ( y − x ) + z ( z − x ) ( z − y ) ≥ 0 x(x−y)(x−z)+y(y−z)(y−x)+z(z−x)(z−y)≥0. Từ giả thiết z ≥ y ≥ x ≥ 0 z≥y≥x≥0 suy ra x ( x − y ) ( x − z ) ≥ 0 x(x−y)(x−z)≥0 (1). Hai số hạng còn lại của vế trái bất đẳng thức cần chứng minh có nhân tử chung z − y ≥ 0 z−y≥0 (2) và ta có y ( y − z ) ( y − x ) + z ( z − x ) ( z − y ) = ( z − y ) [ z ( z − x ) − y ( y − x ) ] y(y−z)(y−x)+z(z−x)(z−y)=(z−y)[z(z−x)−y(y−x)] (3) Mà z ≥ y ≥ x ≥ 0 z≥y≥x≥0 nên z ≥ y ≥ 0 z≥y≥0 và z − x ≥ y − x ≥ 0 z−x≥y−x≥0, từ đó z ( z − x ) ≥ y ( y − x ) z(z−x)≥y(y−x) nên z ( z − x ) − y ( y − x ) ≥ 0 z(z−x)−y(y−x)≥0 (4) Từ (2) và (4) suy ra ( z − y ) [ z ( z − x ) − y ( y − x ) ] ≥ 0 (z−y)[z(z−x)−y(y−x)]≥0, kết hợp với (3) suy ra y ( y − z ) ( y − x ) + z ( z − x ) ( z − y ) ≥ 0 y(y−z)(y−x)+z(z−x)(z−y)≥0 (5). [Sửa] Bài 2 Cho a a, b b là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng: 1) a 2 − a b + b 2 ≥ 0 a 2 −ab+b 2 ≥0. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 2) a 2 − a b + b 2 ≥ 1 4 ( a + b ) 2 a 2 −ab+b 2 ≥ 4 1 (a+b) 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? ) Có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 − 4 a b + 4 b 2 ) = 1 4 ( 2 a − b ) 2 + 3 4 b 2 ≥ 0 a 2 −ab+b 2 = 4 1 (4a 2 −4ab+4b 2 )= 4 1 (2a−b) 2 + 4 3 b 2 ≥0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi { b = 0 2 a − b = 0 { b=0 2a−b=0 hay a = b = 0 a=b=0. 2) Có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 − 4 a b + 4 b 2 ) a 2 −ab+b 2 = 4 1 (4a 2 −4ab+4b 2 ) = 1 4 ( a + b ) 2 + 3 4 ( a − b ) 2 ≥ 1 4 ( a + b ) 2 = 4 1 (a+b) 2 + 4 3 (a−b) 2 ≥ 4 1 (a+b) 2 [Sửa] Bài 3 Cho a a, b b, c c là ba số dương thay đổi luôn có tổng bằng 3 3. Chứng minh rằng a 2 − a b + b 2 + b 2 − b c + c 2 + c 2 − c a + a 2 ≥ 3 a 2 −ab+b 2 + b 2 −bc+c 2 + c 2 −ca+a 2 ≥3. Ta có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( a + b ) 2 + 3 4 ( a − b ) 2 ≥ 1 2 ( a + b ) a 2 −ab+b 2 = 4 1 (a+b) 2 + 4 3 (a−b) 2 ≥ 2 1 (a+ [Sửa] Bài 4 Cho x , y x,y là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng x 2 + y 2 + x y − 3 x − 3 y + 3 ≥ 0 x 2 +y 2 +xy−3x−3y+3≥0. Hướng dẫn giải: Ta có x 2 + y 2 + x y − 3 x − 3 y + 3 x 2 +y 2 +xy−3x−3y+3 = ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + x y + 1 − x − y =(x−1) 2 +(y−1) 2 +xy+1−x−y = ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + ( x − 1 ) ( y − 1 ) ≥ 0 =(x−1) 2 +(y−1) 2 +(x−1)(y−1)≥0 (do a 2 + a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 + 4 a b + 4 b 2 ) = 1 4 ( 2 a + b ) 2 + 3 4 b 2 ≥ 0 a 2 +ab+b 2 = 4 1 (4a 2 +4ab+4b 2 )= 4 1 (2a+b) 2 + 4 3 b 2 ≥0) Ta có x 2 + y 2 + x y − 3 x − 3 y + 3 x 2 +y 2 +xy−3x−3y+3 = ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + x y + 1 − x − y =(x−1) 2 +(y−1) 2 +xy+1−x−y = ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + ( x − 1 ) ( y − 1 ) ≥ 0 =(x−1) 2 +(y−1) 2 +(x−1)(y−1)≥0 [Sửa] Bài 5 Cho ba số dương a , b , c a,b,c thỏa mãn điều kiện a + b + c + a b + b c + c a = 6 a b c a+b+c+ab+bc+ca=6abc. Chứng minh rằng 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 ≥ 3 a 2 1 + b 2 1 + c 2 1 ≥3. Hướng dẫn giải: Giả thiết đã cho tương đương với 1 a + 1 b + 1 c + 1 a b + 1 b c + 1 c a = 6 a 1 + b 1 + c 1 + ab 1 + bc 1 + ca 1 =6. (1) Ta có ( 1 a − 1 ) 2 ≥ 0 ( a 1 −1) 2 ≥0 1 a 2 + 1 ≥ 2 a a 2 1 +1≥ a 2 nên 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 ≥ 2 ( 1 a + 1 b + 1 c ) − 3 a 2 1 + b 2 1 + c 2 1 ≥2( a 1 + b 1 + c 1 )−3 (2)

X>y

= xy (x+1)(y+1)−9xy = xy 2−8xy =

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) ≥ 2 ( c b + b a + a c ) 2( b 2 a 2 + c 2 b 2 + a 2 c 2 )≥2( b c + a b + c a ) Xét dấu hiệu 2 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) − 2 ( c b + b a + a c ) 2( b 2 a 2 + c 2 b 2 + a 2 c 2 )−2( b c + a b + c a ) = ( a b − b c ) 2 + ( b c − c a ) 2 + ( c a − a b ) 2 ≥ 0 =( b a − c b ) 2 +( c b − a c ) 2 +( a c − b a ) 2 ≥0