Gọi \(x_{1} , x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình \(x^{2} - x - 1 = 0.\) Không giải phương trình. chứng minh rằng \(P \left(\right. x_{1} \left.\right) = P \left(\right. x_{2} \left.\right)\) với \(P \left(\right. x \left.\right) = 3 x - \sqrt{33 x + 25}\).

Hướng dẫn giải:

Ta có \(a . c = - 1 < 0\) nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm \(x_{1} , x_{2}\) phân biệt.

Theo định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 1\) và \(x_{1} . x_{2} = - 1\)

Ta có:

\(P \left(\right. x_{1} \left.\right) = P \left(\right. x_{2} \left.\right)\)

\(3 x_{1} - \sqrt{33 x_{1} + 25} = 3 x_{2} - \sqrt{33 x_{2} + 25}\)

\(3 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \left(\right. \sqrt{33 x_{1} + 25} - \sqrt{33 x_{2} + 25} \left.\right) = 0\)

\(3 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \frac{33 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)}{\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25}} = 0\)

\(1 - \frac{11}{\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25}} = 0\)

\(\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25} = 11\)

\(\left(\right. \sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25} \left.\right)^{2} = 121\)

\(33 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 50 + 2 \sqrt{\left(\right. 33 x_{1} + 25 \left.\right) \left(\right. 33 x_{2} + 25 \left.\right)} = 121\) (*)

Ta có VT(*) \(= 33.1 + 50 + 2 \sqrt{3 3^{2} x_{1} x_{2} + 33.25 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 2 5^{2}}\)

\(= 83 + 2 \sqrt{- 3 3^{2} + 2 533 + 2 5^{2}}\)

\(= 83 + 2 \sqrt{361} = 83 + 83 = 121 =\) VP.

Ta có \(\Delta_{1} , \Delta_{2} > 0\) suy ra hai phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète ta có:

\(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = - 2 024 ; x_{1} . x_{2} = 2 \\ & x_{3} + x_{4} = - 2 025 ; x_{3} . x_{4} = 2\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) = x_{1}^{2} + x_{1} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4} = x_{1}^{2} - 2 025 x_{1} + 2\).

Lại có \(x_{1}\) là nghiệm phương trình \(x^{2} + 2 024 x + 2 = 0\) nên:

\(x_{1}^{2} + 2 024 x_{1} + 2 = 0\)

\(x_{1}^{2} - 2 025 x_{1} + 2 + 4 049 x_{1} = 0\)

\(x_{1}^{2} - 2 025 x_{1} + 2 = - 4 049 x_{1}\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} + x_{4} \left.\right) = - 4 049 x_{1}\) (1) 

Tương tự: \(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4} = x_{2}^{2} + 2 025 x_{2} + 2\)

Mà \(x_{2}\) là nghiệm phương trình \(x^{2} + 2 024 x + 2 = 0\) nên

\(x_{2}^{2} + 2 024 x_{2} + 2 = 0\)

\(x_{2}^{2} + 2 025 x_{2} + 2 - x_{2} = 0\)

\(x_{2}^{2} + 2 025 x_{2} + 2 = x_{2}\)

\(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} + x_{4} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = - 4 049 x_{1} . x_{2}\)

hay \(A = - 4 049 x_{1} x_{2} = - 4 049.2 = - 8 098\).

Vậy \(A = - 8 098\).

a) \(\Delta^{'} = m^{2} + 3 > 0\) với mọi \(m\) nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\).

Vì \(x_{1}\) là nghiệm của phương trình nên ta có:

\(x_{1}^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} + 2 m - 2 = 0\) hay \(x_{1}^{2} + 2 m - 2 = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1}\).

Suy ra \(B = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}\).

.2

Năm học lớp 5 là năm học cuối cùng của tôi ở trường tiểu học. Trước khi chia tay thầy cô và bạn bè, trường tôi đã tổ chức một chuyến tham quan trải nghiệm đến biển Sầm Sơn - Thanh Hóa. Đó là chuyến đi mà em nhớ mãi, không chỉ vì cảnh đẹp mà còn vì những kỷ niệm khó quên với các bạn cùng khối.

Buổi sáng hôm ấy, khi trời còn mờ sương, tôi đã dậy thật sớm để chuẩn bị đồ đạc. Trong chiếc balo nhỏ, tôi mang theo mũ, áo khoác, chai nước và chiếc máy ảnh nhỏ của bố. Đến trường, sân trường đã đông nghịt học sinh. Ai cũng háo hức, nói cười rộn rã. Thầy cô điểm danh xong, chúng tôi lên xe trong tiếng nhạc vui tươi. Hàng ghế nào cũng tràn ngập tiếng nói, tiếng hát và cả những tràng cười giòn giã. Sau gần ba tiếng đồng hồ, khung cảnh biển cả hiện ra trước mắt. Từ xa, tôi đã nghe tiếng sóng vỗ rì rào và ngửi thấy mùi mặn nồng của biển. Biển xanh trải dài vô tận, những con sóng trắng xóa nối đuôi nhau vào bờ. Ai nấy đều reo lên sung sướng, muốn chạy ngay xuống nghịch nước. Nhưng theo lời cô giáo dặn, chúng em phải ăn sáng, thay đồ và tập trung để nghe phổ biến quy định an toàn trước.

Khi được xuống biển, cảm giác thật tuyệt vời! Bàn chân tôi chạm vào lớp cát mềm mịn, nước biển mát lạnh vỗ vào chân. Cùng các bạn, tôi xây lâu đài cát, nhặt vỏ sò, đuổi theo những con sóng nhỏ rồi cười vang khi sóng ùa đến. Có lúc, cả nhóm còn cùng nhau thi bơi gần bờ. Tiếng reo hò cổ vũ vang lên không ngớt. Dù ai thắng hay thua thì ai cũng vui, bởi điều quan trọng nhất là được cùng nhau trải nghiệm.

Buổi trưa, chúng tôi tập trung ăn cơm trong một nhà hàng gần bãi biển. Các món ăn đều rất ngon: cá chiên giòn, tôm hấp, canh chua, rau muống xào tỏi. Sau khi ăn xong, cô giáo cho cả đoàn nghỉ ngơi một lát rồi tiếp tục tham quan Đền Độc Cước – nơi thờ vị thần bảo vệ ngư dân. Từ trên cao nhìn xuống, biển hiện ra rộng lớn và đẹp vô cùng. Gió biển thổi mát rượi, mang theo hơi muối mằn mặn khiến tôi thấy lòng thật thư thái.

Buổi chiều, chúng tôi được ghé khu chợ hải sản để tìm hiểu về nghề đánh bắt và buôn bán hải sản của người dân. Cô hướng dẫn viên kể cho chúng tôi nghe về cuộc sống của ngư dân, về những chuyến ra khơi đầy gian nan. Nhìn những bác ngư dân hiền hậu, tay vẫn còn vương mùi muối biển, tôi cảm thấy vô cùng khâm phục và biết ơn họ – những người đã mang lại tôm cá tươi ngon cho mọi người.

Trên đường về, ai cũng có chút mệt nhưng trong lòng lại vui một cách khó tả. Nhiều bạn tranh thủ chụp thêm vài tấm ảnh kỷ niệm, có bạn hát nho nhỏ những bài hát về tuổi học trò. Tôi ngồi bên cửa sổ xe, nhìn mặt trời dần lặn xuống biển, ánh hoàng hôn nhuộm đỏ cả bầu trời. Khoảnh khắc ấy thật đẹp và bình yên biết bao! Chuyến đi biển Sầm Sơn đã giúp tôi học thêm nhiều điều: biết yêu thiên nhiên, biết quý trọng công sức lao động của con người, và thêm gắn bó với thầy cô, bạn bè. Dù sau này lớn lên, tôi có đi nhiều nơi hơn, chắc chắn tôi vẫn sẽ nhớ mãi chuyến đi đáng nhớ ấy – chuyến đi của tuổi học trò trong sáng và đầy ắp niềm vui.

Câu 1:

-Câu chuyện trên được kể ở ngôi thứ 3.

Câu 2:

-Tuy cô bé có hỏi nhưng người bà đã giải thích rằng ngày xưa bà cũng đã hỏi nhưng chẳng ai biết nó đã có từ khi nào.

Câu 3:

-Biện pháp nhân hóa trong câu đó là cây hoa lan đã khoác lên mình. Tác dụng là làm cho thế giới động vật có hồn, gần gũi với con người. Nhấn mạnh hoạt động của cây hoa Lan. Với biện pháp tu từ, ta thấy tình yêu thiên nhiên của bé Hà.

Câu 4:

-Theo em, Hà “run run đỡ những cánh hoa hoàng lan từ trong tay bà” và “ngước đôi mắt tròn xoe nhìn lên ban thờ” vì Hà có thể đã đến người ông đã mất của mình chiến tranh. Có lẽ Hà rất thương người ông của mình nên mới có cảm xúc run run và ngước lên nhìn bàn thờ như vậy.

Câu 5:

Vai trò của gia đình đối với mỗi người rất quang trọng, vì gia đình là nơi để về, là nơi có người thân để sum vầy. Gia đình mang lại cho ta tình yêu thương, sự che chở và là chỗ dựa tinh thần vững chắc trong những lúc khó khăn, cũng là nơi sưởi ấm trái tim ta. Dù đi đâu xa, gia đình vẫn là điểm tựa bình yên nhất để ta trở về.

Mình phải đính chính: mệnh đề “\(6^{7260}\) chia hết cho 7 và 43” không đúng.
Thực ra \(6^{7260} \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\) và \(\equiv 1 \left(\right. m o d 43 \left.\right)\), nên không chia hết cho 7 hay 43.

Chứng minh nhanh

• Modulo 7: \(6 \equiv - 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\).
  \(\Rightarrow 6^{7260} \equiv \left(\right. - 1 \left.\right)^{7260} = 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\).
• Modulo 43: Tính \(6^{3} = 216 = 43 \cdot 5 + 1 \Rightarrow 6^{3} \equiv 1 \left(\right. m o d 43 \left.\right)\).
  Vì \(7260 = 3 \cdot 2420\),
  \(\Rightarrow 6^{7260} = \left(\right. 6^{3} \left.\right)^{2420} \equiv 1^{2420} = 1 \left(\right. m o d 43 \left.\right)\).

Kết luận: \(6^{7260}\) không chia hết cho 7 hay 43.

Gợi ý đúng hơn thường gặp: \(6^{7260} - 1\) chia hết cho cả 7 và 43 (vì các kết quả trên cho thấy \(6^{7260} \equiv 1\) theo cả hai modulo). Do 7 và 43 nguyên tố cùng nhau, suy ra \(6^{7260} - 1\) chia hết cho \(7 \cdot 43 = 301\). Nếu bạn muốn, mình sẽ viết chứng minh đầy đủ cho mệnh đề này.

Ấn Độ và Trung Quốc nha

Tick đi

Con dơi.