a) Vì ở mỗi mặt, có \(4\) hình lập phương nhỏ được sơn một mặt

=> Ở 6 mặt có:

\(6.4=24\) (Hình)

b) Vì ở mỗi cạnh, có \(2\) hình lập phương được sơn hai mặt 

=> Ở \(12\) cạnh có:

 \(2.12 = 24\) (hình)

Vậy a) Số hình lập phương nhỏ cạnh \(1\) mà có đúng một mặt được sơn là: 24 hình

b) Số hình lập phương nhỏ cạnh \(1\) mà có đúng hai mặt được sơn là: 24 hình

Ta có: DB = AB - AD

Thay số: DB = 10 - 6

DB = 4 (cm)

Vì AM là trung tuyến của \(\Delta ABC\) (GT)

=> M là trung điểm của BC (t/c)

=> BM = CM = \(\frac12BC\)

Thay số: BM = CM = \(\frac12\) .\(30=15\) (cm)

Xét \(\Delta ABM\) có:

MD là phân giác của \(\hat{AMB}\) (gt)

=> \(\frac{AD}{BD}=\frac{AM}{MB}\) (T/c phân giác)

Thay số: \(\frac64=\frac{AM}{15}\)

AM = \(\frac{6.15}{4}\)

AM \(=22,5\) (cm)

Vậy AM = 22,5 cm

Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố “Thẻ rút ra là thẻ đánh số 3”

Xác suất của biến cố “Thẻ rút ra là thẻ đánh số 3” là:

\(\frac{6}{20}=0,3\)

vậy xác suất của biến cố “Thẻ rút ra là thẻ đánh số 3” là 0,3

a) Xét \(\Delta AEH\) và \(ΔAHB\) có:

\(\hat{HEA}\) = \(\hat{BHA}\) ( = \(90^{o}\) )

\(\hat{A}\) chung

=> ΔAEH ∽ ΔAHB (g - g)

b) Xét \(\Delta AHF\) và \(\Delta ACH\) có:

\(\hat{AFH}\) = \(\hat{AHC}\) ( = \(90^{o}\) )

\(\hat{A}\) chung

=>\(\Delta AHF\backsim\) \(\Delta ACH\left(g-g\right)\)

=> \(\frac{AH}{AC}=\frac{AH}{AF}\) (các cạnh tỉ lệ tương ứng)

=> \(AH^2=AF.AC\) (1)

Vì \(ΔAEH ∽ ΔAHB\) (cmt)

=> \(\frac{AH}{AB}=\) \(\frac{AE}{AH}\) (các cạnh tỉ lệ tương ứng)

\(AH^2=AE.AB\) (2)

Từ (1) và (2) => \(AE.AB=AF.AC\) (đpcm)

c) Vì \(AE.AB=AF.AC\) (cm câu b)

=> \(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ACB\) có:

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\) (cmt)

\(\hat{A}\) chung

=> \(\Delta AEF\backsim\) \(\Delta ACB\) (c-g-c)

=> \(\frac{EF}{CB}=\frac{P\Delta AEF}{P\Delta ACB}=\frac{20}{30}=\frac23\) (Tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng)

Áp dụng tích chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\) \(\frac{SACB}{9}=\) \(\frac{SAEF}{4}=\) \(\frac{SACB-SAEF}{9-4}\) \(\frac{25}{5}=5\)

=> \(SAEF=5.4=20cm^2\)

\(SACB=5.9=45cm^2\)

Vậy \(SAEF=20cm^2\) và \(SACB=45cm^2\)

Đổi 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h, x > 3)

Vận tốc xuôi dòng khi ca nô đi từ A đến B là:

x + 3 (km/h)

Quãng đường xuôi dòng khi ca nô đi từ A đến B là:

(x + 3). 1,5 (km)

Vận tốc ngược dòng khi ca nô đi từ B về A là: x - 3 (km/h)

Quãng đường ngược dòng khi ca nô đi từ B về A là:

(x-3). 2 (km)

Do ca nô đi cùng một quãng đường AB nên ta có phương trình:

(x + 3). 1,5 = (x-3). 2

1,5x + 4,5 = 2x - 6

1,5x - 2x = -4,5 - 6

- 0,5x = -10,5

x = (-10,5) : (-0,5)

x = 21

Chiều dài quãng sông AB là:

(21 + 3). 1,5 = 36 (km)

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 21 km/h và chiều dài quãng sông AB là 36 km.

Đổi 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h, x > 3)

Vận tốc xuôi dòng khi ca nô đi từ A đến B là:

x + 3 (km/h)

Quãng đường xuôi dòng khi ca nô đi từ A đến B là:

(x + 3). 1,5 (km)

Vận tốc ngược dòng khi ca nô đi từ B về A là: x - 3 (km/h)

Quãng đường ngược dòng khi ca nô đi từ B về A là:

(x-3). 2 (km)

Do ca nô đi cùng một quãng đường AB nên ta có phương trình:

(x + 3). 1,5 = (x-3). 2

1,5x + 4,5 = 2x - 6

1,5x - 2x = -4,5 - 6

-0,5x = -10,5

x = (-10,5) : (-0,5)

x = 21

Chiều dài quãng sông AB là:

(21 + 3). 1,5 = 36 (km)

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 21 km/h và chiều dài quãng sông AB là 36 km.

a) 3x - 4 = 5 + x

3x - x = 4 + 5

2x = 9

x = 9 : 2

x = 4,5

Vậy phương trình có nghiệm x = 4,5

b) 3.( x - 1 ) - 7 = 5.( x + 2 )

3x - 3 - 7 = 5x + 10

3x - 5x = 3 + 7 + 10

-2x = 20

x = 20 : (-2)

x = -10

Vậy phương trình có nghiệm x = -10

\(B\) \(=\) \(3x^2+3y^2+z^2+5xy-3yz-3xz-2x-2y+3\)

\(\Rightarrow2B=2.\left(3x^2+3y^2+z^2+5xy-3yz-3xz-2x-2y+3\right)\)

\(2 B = 6 x^{2} + 6 y^{2} + 2 z^{2} + 10 x y - 6 y z - 6 x z - 4 x - 4 y + 6\)

\(2B=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+2xy+y^2-4x-4y+4\right)+\left(4x^2+4y^2+2z^2+10xy-6yz-6xz+2\right)\)

\(\Rightarrow4B=2(x-y)^2+2(x^2+y^2+2^2+2\cdot x\cdot y-2.x.2-2.y.2)+2(4x^2+4y^2+2z^2+10xy-6yz-6xz+2)\)

\(4B=(x-y)^2+(x^2-2xy+y^2)+2(x+y-2)^2+(8x^2+8y^2+4z^2+20xy-12yz-12xz+4)\)

\(4B=\left(x-y\right)^2+2\left(x+y-2\right)^2+\left(9x^2+9y^2+4z^2+18xy-12yz-12xz+4\right)\)

\(4B=(x-y)^2+2(x+y-2)^2+[(3x)^2+(3y)^2+(2z)^2+2.3x.3y-2.3x.2z-2.3y.2z]+4\)

\(4B=\left(x-y\right)^2+2\left(x+y-2\right)^2+\left(3x+3y-2z\right)^2+4\)\(\Rightarrow B=\frac{(x-y)^2}{4}+\frac{(x+y-2)^2}{2}+\frac{(3x+3y-2z)^2}{4}+1\) Vì \(\frac{(x-y)^2}{4}\ge0\) với mọi x, y

\(\frac{(x+y-2)^2}{2}\ge0\) với mọi x, y

\(\frac{(3x+3y-2z)^2}{4}\ge0\) với mọi x, y, z

=> \(B=\frac{(x-y)^2}{4}+\frac{(x+y-2)^2}{2}+\frac{(3x+3y-2z)^2}{4}+1\ge1\) với mọi x, y, z

=> \(B\ge1\) với mọi x, y, z

Dấu "=" xảy ra khi:

x − y = 0 (1)

x + y − 2 = 0 (2)

x + 3y − 2z = 0 (3)

Giải (1) ta được:

x − y = 0

=> x = y

Giải (2) ta được:

x + y − 2 = 0 hay x + x − 2 = 0

=> \(2x-2=0\)

\(2x=\) \(2\)

\(x=1\)

Giải (3) ta được:

x + 3y − 2z = 0 hay 3x + 3x − 2z = 0

=> \(6x\) \(-2z=0\) \(\)

Theo (2), ta được x= 1 => thay số vào \(6x\) \(-2z=0\), ta được:

\(6.1-2z=0\)

=> \(6-2z=0\)

=> \(2z=6\)

\(z=3\)

Ta có \(x=y\) (phương trình (1)) mà \(x=1\) (phương trình (2))

=> y = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 1 khi \(x=1\); \(y=1\); \(z=3\)

​

H(x)= \(x^2+y^2\) \(-xy-x\) \(+y+1\)

=> \(12H\left(x\right)\) = 12 (\(x^2+y^2\) \(-xy-x\) \(+y+1\)\()\)

\(12H\left(x\right)\) \(=\) \(12x^2+12y^2-12xy-12x+12y+12\)

\(12H\left(x\right)\) = \((12x^2-12xy+3y^2-12x+6y+3)+(9y^2+6y+9)\)

\(12H(x)=3(4x^2-4xy+y^2-4x+2y+1)+(9y^2+6y+1)+8\)

\(12H\left(\right.x\left.\right)=3\left\lbrack(2x)^2+y^2+1^2-2\cdot2x\cdot y-2\cdot2x\cdot1+2\cdot y\cdot1\left]\right.+\left\lbrack((3y)^2+2\cdot3y\cdot1+1^2)+8\right\rbrack\right.\)

\(12H(x)=3(2x-y-1)^2+(3y+1)^2+8\)

\(\Rightarrow H(x)=\frac{3\left(2x-y-1\right)^2+(3y+1)^2+8}{12}\)

\(H\left(x\right)\) \(=\) \(\frac{(2x-y-1)^2}{4}+\frac{(3y+1)^2}{12}+\frac23\)

Vì \(\frac{(2x-y-1)^2}{4}\ge0\) với mọi x, y

\(\frac{(3y+1)^2}{12}\ge0\) với mọi y

=> \(H(x)=\) \(\frac{(2x-y-1)^2}{4}+\frac{(3y+1)^2}{12}+\frac23\) \(\ge\frac23\) với mọi x, y

=> H \(\ge\frac23\) với mọi x, y

Dấu "=" xảy ra khi

2x−y−1=0 (1)

3y+1=0 (2)

Giải (1) ta được:

2x − y − 1= 0

=> \(2x+\frac13-1=0\)

\(2x+\frac13=1\)

\(2x=1-\frac13\)

\(2x=\frac23\)

\(x=\frac13\)

Giải (2) ta được:

3y + 1 = 0

=> 3y = -1

y = \(-\frac13\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của H là \(\frac23\) khi \(x=\frac13\); y = \(-\frac13\)

​

a) Xét \(\Delta ABC\) có:

BD là đường phân giác của \(\angle ABC\) (gt)

=> \(\frac{BA}{BC}=\frac{DA}{DC}\) (Tính chất đường phân giác)

Ta có AB = AC (gt) mà AB = 15 cm (gt)

=> AC = 15 cm

Vì AC = AD + DC => Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{BA}{BC}=\frac{DA}{DC}\)

= \(\frac{BA+BC}{BC}=\) \(\frac{DA+DC}{DC}\)

Thay số: \(\frac{15+10}{10}\) \(=\) \(\frac{15}{DC}\)

\(\frac{25}{10}\) \(=\frac{15}{DC}\)

=> DC = \(\frac{10.15}{25}=6\) (cm)

Ta có: AD = AC - DC

Thay số: AD = 15 - 6 = 9 (cm)

b) Vì BD \(\bot\) BE (gt)

Mà BD là phân giác của \(\angle ABC\) (gt)

=> BE là đường phân giác của góc ngoài tại định B

=> \(\frac{BC}{AB}=\frac{EC}{EA}\) (Tính chất đường phân giác)

=>\(\frac{BC}{AB}=\frac{EC}{EA}=\frac{10}{15}=\frac23\) hay \(\frac{EC}{EC+EA}=\frac{EC}{EC+15}=\frac{10}{15}=\frac23\)

=> 3EC = 2EC +30

=> 3EC - 2EC = 30

=> EC = 30 cm

Vậy a) AD = 9 cm

DC = 6 cm

b) EC = 30 cm

​