Ta có: \(4 H \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. 2 x \left.\right)^{2} - 2.2 x . y + y^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 4 y + 4\)

\(= \left(\right. 2 x - y \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. 2 x - y \left.\right) + 3 y^{2} + 2 y + 3 + 1\)

\(= \left(\right. 2 x - y - 1 \left.\right) + 3 \left(\right. y^{2} + \frac{2}{3} y + 1 \left.\right)\)

\(= \left(\right. 2 x - y - 1 \left.\right) + 3 \left(\left(\right. y + \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} + \frac{8}{3} \geq \frac{8}{3}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(E\) là: \(\frac{8}{3};4=\frac{2}{3}\) tại \(x=\frac{2}{3};y=-\frac{1}{3}\)

D(x)=2(x2−x)+(3y2−2y)+(4z2−2z)+2

\(= 2 \left(\right. x^{2} - x + \frac{1}{4} \left.\right) + 3 \left(\right. y^{2} - \frac{2}{3} y + \frac{1}{9} \left.\right) + \left[\right. \left(\right. 2 z \left.\right)^{2} - 2 z + \frac{1}{4} \left]\right. + 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\)

\(= 2 \left(\left(\right. x - \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} + 3 \left(\left(\right. y - \frac{1}{3} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. 2 z - \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} + \frac{11}{2} \geq \frac{11}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(D\) là: \(\frac{11}{2}\) tại \(\left(\right. x , y , z \left.\right) = \left(\right. \frac{1}{2} ; \frac{1}{3} ; \frac{1}{4} \left.\right)\).

b,ta có: BD ⊥ BE nên BE là đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh B

\(\Rightarrow \frac{B C}{A B} = \frac{E C}{E A} = \frac{E C}{E C + A C} = \frac{E C}{E C + 15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\)

\(\frac{E C}{E C + 15} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3 E C = 2 E C + 30 \Rightarrow 3 E C - 2 E C = 30 \Rightarrow E C = 30 \left(\right. c m \left.\right)\)