Ta làm bằng tọa độ cho nhanh và rõ ràng.

Gọi \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\). Vì \(\triangle A B C\) vuông cân tại \(A\) nên ta có thể đặt \(B \left(\right. 1 , 0 \left.\right)\) và \(C \left(\right. 0 , 1 \left.\right)\) (lấy \(A B = A C = 1\)).

Tập hợp điểm trên \(B C\) phân ba phần bằng nhau theo thứ tự từ \(B\) đến \(C\):

Suy ra

Đường thẳng \(B C\) có phương trình \(x + y = 1\), nên nó có hệ số góc \(- 1\). Các đường qua \(H\) và \(G\) vuông góc với \(B C\) có hệ số góc \(1\) (đường chéo theo phương \(y = x + \text{const}\)). Giao của đường qua \(H\) (hệ số góc \(1\)) với \(A B\) (trục \(x\), tức \(y = 0\)) cho điểm

Giao của đường qua \(G\) với \(A C\) (trục \(y\), tức \(x = 0\)) cho điểm

a) Xét \(\triangle B H E\).

• Vector \(\overset{\rightarrow}{B H} = H - B = \left(\right. \frac{2}{3} - 1 , \frac{1}{3} - 0 \left.\right) = \left(\right. - \frac{1}{3} , \frac{1}{3} \left.\right)\) nằm trên \(B C\).
• Vector \(\overset{\rightarrow}{H E} = E - H = \left(\right. \frac{1}{3} - \frac{2}{3} , \textrm{ } 0 - \frac{1}{3} \left.\right) = \left(\right. - \frac{1}{3} , - \frac{1}{3} \left.\right)\).

Ta thấy \(\overset{\rightarrow}{B H} \cdot \overset{\rightarrow}{H E} = \left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right) \left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right) + \left(\right. \frac{1}{3} \left.\right) \left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right) = 0\). Do đó \(B H \bot H E\) (tam giác vuông tại \(H\)).

Độ dài:

Vậy \(B H = H E\). Kết luận: \(\triangle B H E\) là tam giác vuông cân (vuông tại \(H\) và hai cạnh kề bằng nhau).

b) Chứng minh \(E F G H\) là hình vuông.

Từ các tọa độ tìm được:

Tính các đoạn cạnh kề:

Như vậy bốn cạnh bằng nhau.

Vì \(H E\) vuông góc với \(B C\) và \(H G\) nằm trên \(B C\), suy ra \(H E \bot H G\). Tương tự \(H G \bot G F\), \(G F \bot F E\) và \(F E \bot E H\) (hoặc xét trực tiếp tích vô hướng các vectơ cạnh kề đều bằng \(0\)). Do đó tứ giác \(E F G H\) có bốn cạnh bằng nhau và góc giữa hai cạnh kề bằng \(90^{\circ}\) nên đó là hình vuông.

Kết luận: a) \(\triangle B H E\) là tam giác vuông cân. b) \(E F G H\) là hình vuông. ∎

Giả sử ∠xOy = 90°, tia Om là phân giác, nên
\(\hat{x O m} = \hat{m O y} = 45 ° .\)

Lấy điểm A trên Om, kẻ AB ⟂ Ox, AC ⟂ Oy, hai đường này lần lượt cắt \(O x\) tại \(B\) và \(O y\) tại \(C\).

• Vì \(A B \bot O x\) nên \(A B \bot O B\).
• Vì \(A C \bot O y\) nên \(A C \bot O C\).
• Mà \(O x \bot O y\) (do ∠xOy = 90°)
  ⇒ Hai góc tại O và A của tứ giác OBAC đều là góc vuông.
  → OBAC là hình chữ nhật.

Gọi \(O A = a\).

Vì Om là tia phân giác của góc 90°, nên điểm A có vị trí thỏa mãn

\(\hat{x O A} = 45 ° .\)

Trong tam giác vuông \(O A B\), ta có:

\(O B = O A cos ⁡ 45 ° = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ,\) \(A B = O A sin ⁡ 45 ° = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} .\)

⇒ \(O B = A B .\)

Tương tự trong tam giác vuông \(O A C\):

\(O C = O A cos ⁡ 45 ° = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ,\) \(A C = O A sin ⁡ 45 ° = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} .\)

⇒ \(O C = A C .\)

→ Bốn cạnh \(O B , B A , A C , C O\) bằng nhau.

Tứ giác OBAC có:

• Bốn góc vuông,
• Bốn cạnh bằng nhau.

⇒ OBAC là hình vuông.