• Đường tròn lớn có tâm Ocap O𝑂 và bán kính R=OAcap R equals cap O cap A𝑅=𝑂𝐴.
• Đường tròn nhỏ có đường kính OAcap O cap A𝑂𝐴, nên tâm của nó là trung điểm O′cap O prime𝑂′ của đoạn thẳng OAcap O cap A𝑂𝐴. Bán kính của đường tròn nhỏ là r=O′A=OA2=R2r equals cap O prime cap A equals the fraction with numerator cap O cap A and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator cap R and denominator 2 end-fraction𝑟=𝑂′𝐴=𝑂𝐴2=𝑅2.
• Khoảng cách giữa hai tâm là OO′=OA−O′A=R−r=R−R2=R2cap O cap O prime equals cap O cap A minus cap O prime cap A equals cap R minus r equals cap R minus the fraction with numerator cap R and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator cap R and denominator 2 end-fraction𝑂𝑂′=𝑂𝐴−𝑂′𝐴=𝑅−𝑟=𝑅−𝑅2=𝑅2.
• Vì khoảng cách giữa hai tâm bằng hiệu hai bán kính ( OO′=R−rcap O cap O prime equals cap R minus r𝑂𝑂′=𝑅−𝑟), hai đường tròn tiếp xúc trong tại điểm Acap A𝐴.

• Xét đường tròn (O)open paren cap O close paren(𝑂): Tam giác OABcap O cap A cap B𝑂𝐴𝐵 cân tại Ocap O𝑂 (vì OA=OB=Rcap O cap A equals cap O cap B equals cap R𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑅), suy ra OBÂ=OAB̂modified cap O cap B cap A with hat above equals modified cap O cap A cap B with hat above𝑂𝐵𝐴=𝑂𝐴𝐵.
• Xét đường tròn (O′)open paren cap O prime close paren(𝑂′): Tam giác O′ACcap O prime cap A cap C𝑂′𝐴𝐶 cân tại O′cap O prime𝑂′ (vì O′A=O′C=rcap O prime cap A equals cap O prime cap C equals r𝑂′𝐴=𝑂′𝐶=𝑟), suy ra O′CÂ=O′AĈmodified cap O prime cap C cap A with hat above equals modified cap O prime cap A cap C with hat above𝑂′𝐶𝐴=𝑂′𝐴𝐶.
• Quan hệ giữa các góc: Vì B,A,Ccap B comma cap A comma cap C𝐵,𝐴,𝐶 thẳng hàng và O,A,O′cap O comma cap A comma cap O prime𝑂,𝐴,𝑂′ thẳng hàng, nên OAB̂modified cap O cap A cap B with hat above𝑂𝐴𝐵và O′AĈmodified cap O prime cap A cap C with hat above𝑂′𝐴𝐶là hai góc đối đỉnh, dẫn đến OAB̂=O′AĈmodified cap O cap A cap B with hat above equals modified cap O prime cap A cap C with hat above𝑂𝐴𝐵=𝑂′𝐴𝐶.
• Kết luận về bán kính: Từ các điều trên, ta có OBÂ=O′CÂmodified cap O cap B cap A with hat above equals modified cap O prime cap C cap A with hat above𝑂𝐵𝐴=𝑂′𝐶𝐴. Vì đây là hai góc ở vị trí so le trong, nên bán kính OB∥O′Ccap O cap B is parallel to cap O prime cap C𝑂𝐵∥𝑂′𝐶.
• Chứng minh tiếp tuyến: Gọi dBd sub cap B𝑑𝐵 và dCd sub cap C𝑑𝐶 lần lượt là tiếp tuyến tại Bcap B𝐵 và Ccap C𝐶. Ta có dB⟂OBd sub cap B ⟂ cap O cap B𝑑𝐵⟂𝑂𝐵 và dC⟂O′Cd sub cap C ⟂ cap O prime cap C𝑑𝐶⟂𝑂′𝐶. Do OB∥O′Ccap O cap B is parallel to cap O prime cap C𝑂𝐵∥𝑂′𝐶, suy ra dB∥dCd sub cap B is parallel to d sub cap C𝑑𝐵∥𝑑𝐶.

• Đường tròn (O)open paren cap O close paren(𝑂) có đường kính IJ=10cmcap I cap J equals 10 cm𝐼𝐽=10cm, nên bán kính R=OI=5cmcap R equals cap O cap I equals 5 cm𝑅=𝑂𝐼=5cm.
• Đường tròn (O′)open paren cap O prime close paren(𝑂′) có đường kính IJ′=4cmcap I cap J prime equals 4 cm𝐼𝐽′=4cm, nên bán kính r=O′I=2cmr equals cap O prime cap I equals 2 cm𝑟=𝑂′𝐼=2cm.
• Vì ba điểm J,I,J′cap J comma cap I comma cap J prime𝐽,𝐼,𝐽′ nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó, nên điểm Icap I𝐼 nằm giữa hai tâm Ocap O𝑂 và O′cap O prime𝑂′ (với Ocap O𝑂 là trung điểm IJcap I cap J𝐼𝐽 và O′cap O prime𝑂′ là trung điểm IJ′cap I cap J prime𝐼𝐽′).
• Khoảng cách giữa hai tâm là OO′=OI+O′I=R+r=5+2=7cmcap O cap O prime equals cap O cap I plus cap O prime cap I equals cap R plus r equals 5 plus 2 equals 7 cm𝑂𝑂′=𝑂𝐼+𝑂′𝐼=𝑅+𝑟=5+2=7cm.
• Vì OO′=R+rcap O cap O prime equals cap R plus r𝑂𝑂′=𝑅+𝑟, theo lý thuyết về vị trí tương đối của hai đường tròn, (O)open paren cap O close paren(𝑂) và (O′)open paren cap O prime close paren(𝑂′) tiếp xúc ngoài tại điểm Icap I𝐼. 
• Xét đường tròn (O)open paren cap O close paren(𝑂), ∠IAJangle cap I cap A cap J∠𝐼𝐴𝐽 là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính IJcap I cap J𝐼𝐽, nên ∠IAJ=90∘angle cap I cap A cap J equals 90 raised to the composed with power∠𝐼𝐴𝐽=90∘.
• Xét đường tròn (O′)open paren cap O prime close paren(𝑂′), ∠IA′J′angle cap I cap A prime cap J prime∠𝐼𝐴′𝐽′ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính IJ′cap I cap J prime𝐼𝐽′, nên ∠IA′J′=90∘angle cap I cap A prime cap J prime equals 90 raised to the composed with power∠𝐼𝐴′𝐽′=90∘.
• Xét hai tam giác vuông ΔAIJcap delta cap A cap I cap JΔ𝐴𝐼𝐽 và ΔA′IJ′cap delta cap A prime cap I cap J primeΔ𝐴′𝐼𝐽′:
  • ∠IAJ=∠IA′J′=90∘angle cap I cap A cap J equals angle cap I cap A prime cap J prime equals 90 raised to the composed with power∠𝐼𝐴𝐽=∠𝐼𝐴′𝐽′=90∘.
  • ∠AIJ=∠A′IJ′angle cap A cap I cap J equals angle cap A prime cap I cap J prime∠𝐴𝐼𝐽=∠𝐴′𝐼𝐽′ (hai góc đối đỉnh vì A,I,A′cap A comma cap I comma cap A prime𝐴,𝐼,𝐴′ thẳng hàng và J,I,J′cap J comma cap I comma cap J prime𝐽,𝐼,𝐽′ thẳng hàng).
• Vậy ΔAIJ∼ΔA′IJ′cap delta cap A cap I cap J tilde cap delta cap A prime cap I cap J primeΔ𝐴𝐼𝐽∼Δ𝐴′𝐼𝐽′ theo trường hợp góc-góc (g.g).
• Từ kết quả câu b, ta có tỉ số đồng dạng: IAIA′=IJIJ′the fraction with numerator cap I cap A and denominator cap I cap A prime end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap J and denominator cap I cap J prime end-fraction𝐼𝐴𝐼𝐴′=𝐼𝐽𝐼𝐽′.
• Tương tự, xét hai tam giác vuông ΔBIJcap delta cap B cap I cap JΔ𝐵𝐼𝐽 và ΔB′IJ′cap delta cap B prime cap I cap J primeΔ𝐵′𝐼𝐽′, ta cũng có ΔBIJ∼ΔB′IJ′cap delta cap B cap I cap J tilde cap delta cap B prime cap I cap J primeΔ𝐵𝐼𝐽∼Δ𝐵′𝐼𝐽′ (g.g), suy ra IBIB′=IJIJ′the fraction with numerator cap I cap B and denominator cap I cap B prime end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap J and denominator cap I cap J prime end-fraction𝐼𝐵𝐼𝐵′=𝐼𝐽𝐼𝐽′.
• Từ đó suy ra IAIA′=IBIB′=IJIJ′the fraction with numerator cap I cap A and denominator cap I cap A prime end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap B and denominator cap I cap B prime end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap J and denominator cap I cap J prime end-fraction𝐼𝐴𝐼𝐴′=𝐼𝐵𝐼𝐵′=𝐼𝐽𝐼𝐽′.
• Xét ΔIABcap delta cap I cap A cap BΔ𝐼𝐴𝐵 và ΔIA′B′cap delta cap I cap A prime cap B primeΔ𝐼𝐴′𝐵′:
  • IAIA′=IBIB′the fraction with numerator cap I cap A and denominator cap I cap A prime end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap B and denominator cap I cap B prime end-fraction𝐼𝐴𝐼𝐴′=𝐼𝐵𝐼𝐵′(chứng minh trên).
  • ∠AIB=∠A′IB′angle cap A cap I cap B equals angle cap A prime cap I cap B prime∠𝐴𝐼𝐵=∠𝐴′𝐼𝐵′ (hai góc đối đỉnh).
• Vậy ΔIAB∼ΔIA′B′cap delta cap I cap A cap B tilde cap delta cap I cap A prime cap B primeΔ𝐼𝐴𝐵∼Δ𝐼𝐴′𝐵′ theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c.g.c). 
• Vì ΔIAB∼ΔIA′B′cap delta cap I cap A cap B tilde cap delta cap I cap A prime cap B primeΔ𝐼𝐴𝐵∼Δ𝐼𝐴′𝐵′, ta có tỉ số ABA′B′=IAIA′=IJIJ′=2R2r=Rrthe fraction with numerator cap A cap B and denominator cap A prime cap B prime end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap A and denominator cap I cap A prime end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap J and denominator cap I cap J prime end-fraction equals the fraction with numerator 2 cap R and denominator 2 r end-fraction equals the fraction with numerator cap R and denominator r end-fraction𝐴𝐵𝐴′𝐵′=𝐼𝐴𝐼𝐴′=𝐼𝐽𝐼𝐽′=2𝑅2𝑟=𝑅𝑟.
• Xét ΔOABcap delta cap O cap A cap BΔ𝑂𝐴𝐵 và ΔO′A′B′cap delta cap O prime cap A prime cap B primeΔ𝑂′𝐴′𝐵′:
  • OAO′A′=Rrthe fraction with numerator cap O cap A and denominator cap O prime cap A prime end-fraction equals the fraction with numerator cap R and denominator r end-fraction𝑂𝐴𝑂′𝐴′=𝑅𝑟(bán kính tương ứng).
  • OBO′B′=Rrthe fraction with numerator cap O cap B and denominator cap O prime cap B prime end-fraction equals the fraction with numerator cap R and denominator r end-fraction𝑂𝐵𝑂′𝐵′=𝑅𝑟(bán kính tương ứng).
  • ABA′B′=Rrthe fraction with numerator cap A cap B and denominator cap A prime cap B prime end-fraction equals the fraction with numerator cap R and denominator r end-fraction𝐴𝐵𝐴′𝐵′=𝑅𝑟(theo tỉ số đồng dạng ở trên).
• Vì ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, nên ΔOAB∼ΔO′A′B′cap delta cap O cap A cap B tilde cap delta cap O prime cap A prime cap B primeΔ𝑂𝐴𝐵∼Δ𝑂′𝐴′𝐵′ theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c).
• Từ ΔIAB∼ΔIA′B′cap delta cap I cap A cap B tilde cap delta cap I cap A prime cap B primeΔ𝐼𝐴𝐵∼Δ𝐼𝐴′𝐵′, ta có ∠IAB=∠IA′B′angle cap I cap A cap B equals angle cap I cap A prime cap B prime∠𝐼𝐴𝐵=∠𝐼𝐴′𝐵′ (hai góc tương ứng).
• Hai góc này ở vị trí so le trong so với hai đoạn thẳng ABcap A cap B𝐴𝐵 và A′B′cap A prime cap B prime𝐴′𝐵′ (với AA′cap A cap A prime𝐴𝐴′ là đường cắt).
• Do đó, AB∥A′B′cap A cap B is parallel to cap A prime cap B prime𝐴𝐵∥𝐴′𝐵′.
• Tứ giác có một cặp cạnh đối song song là hình thang. Tuy nhiên, vì ABcap A cap B𝐴𝐵 và A′B′cap A prime cap B prime𝐴′𝐵′ không bằng nhau ( AB/A′B′=10/4=2.5cap A cap B / cap A prime cap B prime equals 10 / 4 equals 2.5𝐴𝐵/𝐴′𝐵′=10/4=2.5), tứ giác ABA′B′cap A cap B cap A prime cap B prime𝐴𝐵𝐴′𝐵′ là hình thang. 

Do DAE = 90° (kết quả câu a).

Trong đường tròn (O), BDA = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn AOB). Do đó, BD | AD.

Trong đường tròn (O'), CEA = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn AOC). Do đó, CE I AE.

Tứ giác ADME có DAE = 90°, ADM = BDA = 90° và AEM = CEA = 90°.