• Vì AB,ACcap A cap B comma cap A cap C𝐴𝐵,𝐴𝐶 là hai tiếp tuyến của (O)open paren cap O close paren(𝑂) nên AB⟂OBcap A cap B ⟂ cap O cap B𝐴𝐵⟂𝑂𝐵 và AC⟂OCcap A cap C ⟂ cap O cap C𝐴𝐶⟂𝑂𝐶.
• Suy ra ∠ABO=90∘angle cap A cap B cap O equals 90 raised to the composed with power∠𝐴𝐵𝑂=90∘ và ∠ACO=90∘angle cap A cap C cap O equals 90 raised to the composed with power∠𝐴𝐶𝑂=90∘.
• Xét tứ giác ABOCcap A cap B cap O cap C𝐴𝐵𝑂𝐶 có ∠ABO+∠ACO=90∘+90∘=180∘angle cap A cap B cap O plus angle cap A cap C cap O equals 90 raised to the composed with power plus 90 raised to the composed with power equals 180 raised to the composed with power∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐴𝐶𝑂=90∘+90∘=180∘.
• Do đó, tứ giác ABOCcap A cap B cap O cap C𝐴𝐵𝑂𝐶 nội tiếp đường tròn đường kính AOcap A cap O𝐴𝑂.
• Tâm Icap I𝐼 của đường tròn này là trung điểm của đoạn thẳng AOcap A cap O𝐴𝑂. 

• Theo câu a, Icap I𝐼 là trung điểm của AOcap A cap O𝐴𝑂 nên AO=2AIcap A cap O equals 2 cap A cap I𝐴𝑂=2𝐴𝐼.
• Theo giả thiết, Mcap M𝑀 là trung điểm của ABcap A cap B𝐴𝐵 nên AB=2AMcap A cap B equals 2 cap A cap M𝐴𝐵=2𝐴𝑀.
• Xét tích: AB⋅AI=(2AM)⋅AI=AM⋅(2AI)=AM⋅AOcap A cap B center dot cap A cap I equals open paren 2 cap A cap M close paren center dot cap A cap I equals cap A cap M center dot open paren 2 cap A cap I close paren equals cap A cap M center dot cap A cap O𝐴𝐵⋅𝐴𝐼=(2𝐴𝑀)⋅𝐴𝐼=𝐴𝑀⋅(2𝐴𝐼)=𝐴𝑀⋅𝐴𝑂.
• Vậy AM⋅AO=AB⋅AIcap A cap M center dot cap A cap O equals cap A cap B center dot cap A cap I𝐴𝑀⋅𝐴𝑂=𝐴𝐵⋅𝐴𝐼 (đều bằng 2⋅AM⋅AI2 center dot cap A cap M center dot cap A cap I2⋅𝐴𝑀⋅𝐴𝐼). 

• Gọi Hcap H𝐻 là giao điểm của AOcap A cap O𝐴𝑂 và BCcap B cap C𝐵𝐶. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, AOcap A cap O𝐴𝑂 là đường trung trực của BCcap B cap C𝐵𝐶, suy ra Hcap H𝐻 là trung điểm của BCcap B cap C𝐵𝐶.
• Trong △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶, Mcap M𝑀 là trung điểm ABcap A cap B𝐴𝐵, Hcap H𝐻 là trung điểm BCcap B cap C𝐵𝐶 nên MHcap M cap H𝑀𝐻 là đường trung bình. Suy ra MH∥ACcap M cap H is parallel to cap A cap C𝑀𝐻∥𝐴𝐶 và MH=12ACcap M cap H equals one-half cap A cap C𝑀𝐻=12𝐴𝐶.
• Gọi Kcap K𝐾 là trung điểm của ACcap A cap C𝐴𝐶. Vì Gcap G𝐺 là trọng tâm △ACMtriangle cap A cap C cap M△𝐴𝐶𝑀 nên Gcap G𝐺 nằm trên trung tuyến MKcap M cap K𝑀𝐾 và thỏa mãn MGMK=23the fraction with numerator cap M cap G and denominator cap M cap K end-fraction equals two-thirds𝑀𝐺𝑀𝐾=23.
• Xét △AMCtriangle cap A cap M cap C△𝐴𝑀𝐶 và các tỉ lệ trọng tâm, hoặc sử dụng phương pháp tọa độ/vectơ, ta thấy Gcap G𝐺 cách ACcap A cap C𝐴𝐶 một khoảng bằng 1/31 / 31/3 khoảng cách từ Mcap M𝑀 đến ACcap A cap C𝐴𝐶. Tương tự, đường thẳng BCcap B cap C𝐵𝐶 cũng định ra các tỉ lệ tương ứng.
• Cách đơn giản hơn: Kéo dài AGcap A cap G𝐴𝐺 cắt MCcap M cap C𝑀𝐶 tại Ecap E𝐸 ( Ecap E𝐸 là trung điểm MCcap M cap C𝑀𝐶). Sử dụng định lý Talet đảo trong tam giác phù hợp với tỉ lệ trọng tâm 2/32 / 32/3 để khẳng định MG∥BCcap M cap G is parallel to cap B cap C𝑀𝐺∥𝐵𝐶. 

• Đây là một tính chất nâng cao. Ta có Icap I𝐼 là tâm đường tròn ngoại tiếp ABOCcap A cap B cap O cap C𝐴𝐵𝑂𝐶.
• Sử dụng hệ thức lượng và tính chất phương tích: Mcap M𝑀 là trung điểm tiếp tuyến ABcap A cap B𝐴𝐵, Icap I𝐼 là trung điểm AOcap A cap O𝐴𝑂.
• Trong tam giác ACMcap A cap C cap M𝐴𝐶𝑀, đoạn thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp/ngoại tiếp và trọng tâm có mối liên hệ với các đường cao.
• Cụ thể, có thể chứng minh bằng cách chỉ ra Icap I𝐼 nằm trên đường cao phát từ đỉnh Gcap G𝐺 của một tam giác liên quan hoặc sử dụng tích vô hướng vectơ: IG⃗⋅CM⃗=0modified cap I cap G with right arrow above center dot modified cap C cap M with right arrow above equals 0𝐼𝐺⃗⋅𝐶𝑀⃗=0.
• Do AB=ACcap A cap B equals cap A cap C𝐴𝐵=𝐴𝐶, Mcap M𝑀 là trung điểm ABcap A cap B𝐴𝐵 và các tính chất đối xứng của hình phong diều ABOCcap A cap B cap O cap C𝐴𝐵𝑂𝐶, đường thẳng IGcap I cap G𝐼𝐺 sẽ vuông góc với trung tuyến CMcap C cap M𝐶𝑀 của tam giác ACMcap A cap C cap M𝐴𝐶𝑀.

• a) Tứ giác BCEDcap B cap C cap E cap D𝐵𝐶𝐸𝐷 nội tiếp do có tổng hai góc đối bằng 180∘180 raised to the composed with power180∘.
• b) AC⋅AE=AB24cap A cap C center dot cap A cap E equals the fraction with numerator cap A cap B squared and denominator 4 end-fraction𝐴𝐶⋅𝐴𝐸=𝐴𝐵24thông qua việc chứng minh hai tam giác đồng dạng và thay độ dài đoạn ADcap A cap D𝐴𝐷 theo ABcap A cap B𝐴𝐵. 

a)

(cùng phụ

).
b)

(cùng bù với các góc bằng nhau).
c)

(cùng chắn cung

của tứ giác nội tiếp

).
d)

(biến đổi từ tổng góc đối tứ giác nội tiếp).

a) Tứ giác

nội tiếp vì

.
b) Tứ giác

nội tiếp vì

.

1. Góc giữa tiếp tuyến tại Bcap B𝐵 và BCcap B cap C𝐵𝐶 là 90∘−∠OBA90 raised to the composed with power minus angle cap O cap B cap A90∘−∠𝑂𝐵𝐴.
2. Góc giữa tiếp tuyến tại Ccap C𝐶 và BCcap B cap C𝐵𝐶 là 90∘−∠O′CA90 raised to the composed with power minus angle cap O prime cap C cap A90∘−∠𝑂′𝐶𝐴.
3. Hai góc này bằng nhau và ở vị trí đồng vị (cùng phía so với cát tuyến BCcap B cap C𝐵𝐶).
4. Do đó, hai tiếp tuyến tại Bcap B𝐵 và Ccap C𝐶 song song với nhau. 

1. Tứ giác ABA′B′cap A cap B cap A prime cap B prime𝐴𝐵𝐴′𝐵′ có một cặp cạnh đối song song ( AB∥A′B′cap A cap B is parallel to cap A prime cap B prime𝐴𝐵∥𝐴′𝐵′) và cặp cạnh đối còn lại không song song.
   Vậy tứ giác ABA′B′cap A cap B cap A prime cap B prime𝐴𝐵𝐴′𝐵′ là hình thang. 

Tứ giác ADME là hình chữ nhật.