Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của O trên d. Từ M bất kì trên d (M \neq H), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O). Dây AB cắt OH tại C và cắt OM tại D.

Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp

Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B, nên ta có: OA \perp MA \Rightarrow \widehat{MAO} = 90^\circ. OB \perp MB \Rightarrow \widehat{MBO} = 90^\circ.

Xét tứ giác MAOB, ta có tổng hai góc đối diện:

\widehat{MAO} + \widehat{MBO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ

Kết luận: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính MO (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).

) Chứng minh OC \cdot OH = OD \cdot OM

Đầu tiên, ta chứng minh OM \perp AB tại D: Ta có OA = OB = R và MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Suy ra OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB, do đó OM \perp AB tại D.

Xét tam giác MAO vuông tại A có đường cao AD (vì AD \perp OM): Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: OA^2 = OD \cdot OM \Rightarrow R^2 = OD \cdot OM (1).

Xét hai tam giác \triangle ODC và \triangle OHM: Có góc \widehat{O} chung. \widehat{ODC} = \widehat{OHM} = 90^\circ (vì AB \perp OM và OH \perp d). Suy ra \triangle ODC \sim \triangle OHM (g.g).

Từ cặp tam giác đồng dạng, ta có tỉ số:

\frac{OD}{OH} = \frac{OC}{OM} \Rightarrow OC \cdot OH = OD \cdot OM

Kết luận: Từ (1) và (2) ta thấy cả hai tích đều bằng R^2. Vậy OC \cdot OH = OD \cdot OM = R^2.

c) Khi M di chuyển trên d thì dây AB luôn đi qua một điểm cố định Theo kết quả ở câu (b), ta có OC \cdot OH = R^2 \Rightarrow OC = \frac{R^2}{OH}. Vì đường tròn (O; R) cố định và đường thẳng d cố định nên khoảng cách OH từ tâm O đến đường thẳng d là không đổi. Do R và OH không đổi, nên độ dài đoạn OC là không đổi. Mà điểm C nằm trên tia OH cố định, do đó điểm C là điểm cố định. Kết luận: Khi M di chuyển trên đường thẳng d, dây AB luôn đi qua điểm C cố định.

Phân tích đề bài Quãng đường (S): 24 km. Lúc đi: Vận tốc không đổi v (km/h). Lúc về: * Nửa quãng đường đầu (12 km): Vận tốc vẫn là v. Nửa quãng đường sau (12 km): Vận tốc tăng thêm 4 km/h, tức là v + 4 (km/h). Chênh lệch thời gian: Thời gian về ít hơn thời gian đi 15 phút (1/4 giờ).

Gọi ẩn và đặt điều kiện Gọi vận tốc lúc đi của bạn Hoa là v (đơn vị: km/h; điều kiện: v > 0).

Thời gian bạn Hoa đi từ nhà đến địa điểm A là: t_{đi} = \frac{24}{v} (giờ). Thời gian đi nửa quãng đường đầu lúc về là: t_1 = \frac{12}{v} (giờ). Thời gian đi nửa quãng đường sau lúc về là: t_2 = \frac{12}{v + 4} (giờ). Tổng thời gian lúc về là: t_{về} = \frac{12}{v} + \frac{12}{v + 4} (giờ).

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút (15 phút = 1/4 giờ), ta có phương trình:

t_{đi} - t_{về} = \frac{1}{4}

\frac{24}{v} - \left( \frac{12}{v} + \frac{12}{v + 4} \right) = \frac{1}{4}

\Leftrightarrow \frac{12}{v} - \frac{12}{v + 4} = \frac{1}{4}

Quy đồng mẫu thức hai vế (mẫu thức chung là 4v(v + 4)):

4 \cdot 12 \cdot (v + 4) - 4 \cdot 12 \cdot v = v(v + 4)

\Leftrightarrow 48v + 192 - 48v = v^2 + 4v

\Leftrightarrow v^2 + 4v - 192 = 0

Sử dụng công thức nghiệm hoặc tách hạng tử:

(v - 12)(v + 16) = 0

v = 12 (Thỏa mãn điều kiện v > 0).

v = -16 (Loại)

Vận tốc lúc đi của bạn Hoa là 12 km/h.

Cho phương trình: x^2 - mx + m - 1 = 0 (1) a) Giải phương trình (1) với m = -2 Thay m = -2 vào phương trình (1), ta được:

x^2 - (-2)x + (-2) - 1 = 0

x^2 + 2x - 3 = 0

Phương trình này có dạng a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0. Theo tính chất nghiệm của phương trình bậc hai: Nghiệm thứ nhất: x_1 = 1 Nghiệm thứ hai: x_2 = \frac{c}{a} = -3 Vậy với m = -2, phương trình có tập nghiệm S = \{1; -3\}. b) Tìm m để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x_1, x_2 Phương trình có hai nghiệm khi \Delta \ge 0:

\Delta = (-m)^2 - 4(m - 1) = m^2 - 4m + 4 = (m - 2)^2

Vì (m - 2)^2 \ge 0 với mọi m, nên phương trình luôn có hai nghiệm x_1, x_2 với mọi giá trị của tham số m. Áp dụng hệ thức Vi-ét Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x_1 + x_2 = m

x_1x_2 = m - 1

Biến đổi biểu thức A Mẫu số của A là: x_1^2 + x_2^2 + 2(x_1x_2 + 1) = (x_1 + x_2)^2 + 2. Thay các biểu thức Vi-ét vào A:

A = \frac{2(m-1) + 3}{m^2 + 2} = \frac{2m + 1}{m^2 + 2}

Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của A Xét hiệu A - \frac{1}{2}:

A - \frac{1}{2} = \frac{2m + 1}{m^2 + 2} - \frac{1}{2} = \frac{2(2m + 1) - (m^2 + 2)}{2(m^2 + 2)} = \frac{4m + 2 - m^2 - 2}{2(m^2 + 2)} = \frac{-m^2 + 4m}{2(m^2 + 2)}

Cách này có vẻ phức tạp để tìm Max ngay. Ta sử dụng phương pháp miền giá trị hoặc đánh giá trực tiếp: Ta có: (m-1)^2 \ge 0 \Rightarrow m^2 - 2m + 1 \ge 0 \Rightarrow m^2 + 2 \ge 2m + 1. Tuy nhiên, cách hiệu quả nhất ở đây là xét:

A = \frac{m^2+2 - (m^2-2m+1)}{m^2+2} = 1 - \frac{(m-1)^2}{m^2+2} \le 1

Dấu "=" xảy ra khi m-1=0 \Leftrightarrow m=1. Vậy giá trị lớn nhất của A là 1, đạt được khi m = 1.

Ta có: 4 - x = (2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x}). Để quy đồng, ta đổi dấu mẫu số: \frac{8x}{4-x} = \frac{-8x}{x-4} = \frac{-8x}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}. Mẫu thức chung (MTC) là (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2).

\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} + \frac{8x}{4-x} = \frac{4\sqrt{x}(\sqrt{x}-2) - 8x}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}

= \frac{4x - 8\sqrt{x} - 8x}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{-4x - 8\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}

= \frac{-4\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{-4\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}

Ta có: x - 2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-2). MTC là \sqrt{x}(\sqrt{x}-2).

\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} - \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}-1 - 2(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}

= \frac{\sqrt{x} - 1 - 2\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} = \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}

Thực hiện phép chia (nhân nghịch đảo):

P = \frac{-4\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} : \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}

P = \frac{-4\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{3 - \sqrt{x}}

Rút gọn (\sqrt{x}-2) ở cả tử và mẫu:

P = \frac{-4\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{3 - \sqrt{x}} = \frac{-4x}{3 - \sqrt{x}}

Để biểu thức trông "đẹp" hơn, ta có thể đổi dấu ở mẫu:

P = \frac{4x}{\sqrt{x}-3}

Kết luận: Với x > 0; x \neq 4; x \neq 9, biểu thức rút gọn là P = \frac{4x}{\sqrt{x}-3}.