Gọi số ha rừng lâm trường dự định trồng mỗi tuần là x (ha, x > 0). Thời gian dự định: \frac{75}{x} (tuần). Thực tế mỗi tuần trồng được: x + 5 (ha). Thời gian thực tế: \frac{80}{x + 5} (tuần). Đổi 7 ngày = 1 tuần. Vì hoàn thành sớm hơn 1 tuần nên ta có phương trình:

\frac{75}{x} - \frac{80}{x + 5} = 1 \Rightarrow 75(x + 5) - 80x = x(x + 5)

\Leftrightarrow 75x + 375 - 80x = x^2 + 5x \Leftrightarrow x^2 + 10x - 375 = 0

Giải phương trình (với x>0) ta được x = 15. Vậy mỗi tuần lâm trường dự định trồng 15 ha rừng

Giải phương trình: x^4 - 7x^2 + 12 = 0 Đặt t = x^2 (t \ge 0), phương trình trở thành: t^2 - 7t + 12 = 0. Ta có \Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 12 = 1. Phương trình có hai nghiệm: t_1 = 4, t_2 = 3 (đều thỏa mãn). Với t = 4 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2. Với t = 3 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}. Vậy tập nghiệm là S = \{ -2; 2; -\sqrt{3}; \sqrt{3} \}. 2) Cho phương trình: x^2 - (2m - 1)x + m - 1 = 0 (1) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt:

\Delta = [-(2m-1)]^2 - 4(m-1) = 4m^2 - 4m + 1 - 4m + 4 = 4m^2 - 8m + 5 = (2m-2)^2 + 1

Vì (2m-2)^2 \ge 0 với mọi m nên \Delta \ge 1 > 0. Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x_1, x_2. b) Tìm m để x_1^2 + x_2^2 = 2m^2 - m: Theo Vi-ét: x_1 + x_2 = 2m - 1 và x_1x_2 = m - 1. Ta có: x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (2m-1)^2 - 2(m-1) = 4m^2 - 4m + 1 - 2m + 2 = 4m^2 - 6m + 3. Yêu cầu bài toán: 4m^2 - 6m + 3 = 2m^2 - m \Leftrightarrow 2m^2 - 5m + 3 = 0. Vì a+b+c = 2 + (-5) + 3 = 0 nên m_1 = 1 và m_2 = \frac{3}{2}.

Cho P = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} và Q = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1} với x \ge 0; x \neq 1. 1) Tính giá trị của Q tại x = 9: Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào Q:

Q = \frac{\sqrt{9} + 3}{\sqrt{9} + 1} = \frac{3 + 3}{3 + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

Rút gọn biểu thức P:

P = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \right) + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} = \frac{1 - 3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}

P = \frac{(1 - 3\sqrt{x})(\sqrt{x} - 1) + \sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} - 1 - 3x + 3\sqrt{x} + x + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{-2x + 6\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)}

a) Chứng minh MAOB nội tiếp:

Vì MA, MB là tiếp tuyến nên \widehat{MAO} = 90^\circ và \widehat{MBO} = 90^\circ.

Tứ giác MAOB có \widehat{MAO} + \widehat{MBO} = 180^\circ nên nội tiếp đường tròn đường kính MO.

​b) Chứng minh OC \cdot OH = OD \cdot OM:

• ​Trong tam giác vuông MAO có AD là đường cao (do OM \perp AB tại D): OA^2 = OD \cdot OM.
• ​Xét hai tam giác đồng dạng \triangle ODC và \triangle OHM (chung góc O, \widehat{ODC} = \widehat{OHM} = 90^\circ - cần chứng minh CD \perp OH hoặc dùng góc).
• ​Thực tế: Xét \triangle ODC và \triangle OHM có \widehat{O} chung và \widehat{ODC} = \widehat{OHM} = 90^\circ là sai. Ta phải xét \triangle ODC và \triangle OHM không trực tiếp như vậy.
• ​Cách đúng: \triangle ODC \sim \triangle OHM (g.g) \Rightarrow \frac{OD}{OH} = \frac{OC}{OM} \Rightarrow OC \cdot OH = OD \cdot OM.

​c) AB luôn đi qua một điểm cố định:

Từ câu b, OC \cdot OH = OD \cdot OM = OA^2 = R^2 \Rightarrow OC = \frac{R^2}{OH}.

Vì đường thẳng d cố định nên khoảng cách OH từ tâm O đến d là không đổi. R không đổi.

Do đó OC không đổi, mà C nằm trên tia OH cố định nên C là điểm cố định. Vậy AB luôn đi qua C

Gọi vận tốc dự định (vận tốc lúc đi) là v (km/h, v > 0). Thời gian đi: t_1 = \frac{24}{v} (giờ). Quãng đường về: Nửa đầu là 12 km đi với vận tốc v, nửa sau 12 km đi với vận tốc v + 4. Thời gian về: t_2 = \frac{12}{v} + \frac{12}{v+4} (giờ). Theo đề bài, thời gian về ít hơn thời gian đi 15 phút = \frac{1}{4} giờ:

\frac{24}{v} - \left( \frac{12}{v} + \frac{12}{v+4} \right) = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{12}{v} - \frac{12}{v+4} = \frac{1}{4}

\Leftrightarrow 12 \cdot \left( \frac{v+4-v}{v(v+4)} \right) = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{48}{v^2 + 4v} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow v^2 + 4v - 192 = 0

Giải phương trình ta được v = 12 (nhận) hoặc v = -16 (loại). Vậy vận tốc lúc đi là 12 km/h.

Cho phương trình: x^2 - mx + m - 1 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = -2: Thay m = -2 vào (1): x^2 + 2x - 3 = 0. Vì a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0 nên phương trình có hai nghiệm: x_1 = 1, x_2 = -3. b) Tìm m để A đạt giá trị lớn nhất: Phương trình (1) luôn có nghiệm vì \Delta = m^2 - 4(m - 1) = (m - 2)^2 \ge 0 với mọi m. Theo hệ thức Vi-ét: x_1 + x_2 = m và x_1x_2 = m - 1. Biểu thức A = \frac{2x_1x_2 + 3}{x_1^2 + x_2^2 + 2(x_1x_2 + 1)} = \frac{2x_1x_2 + 3}{(x_1 + x_2)^2 + 2} = \frac{2(m-1) + 3}{m^2 + 2} = \frac{2m + 1}{m^2 + 2}. Xét A - \frac{1}{2} = \frac{2m + 1}{m^2 + 2} - \frac{1}{2} = \frac{4m + 2 - m^2 - 2}{2(m^2 + 2)} = \frac{-(m^2 - 4m)}{2(m^2 + 2)}. Cách này hơi phức tạp, ta dùng phương pháp miền giá trị hoặc biến đổi: A = \frac{1}{2} khi m=0 hoặc m=4? Không hẳn. Thử với m=1 \Rightarrow A = 1. Thử với m=2 \Rightarrow A = 5/6. Thực tế, GTLN của A là 1 khi m = 1. (Kiểm tra: \frac{2(1)+1}{1^2+2} = \frac{3}{3} = 1. Với mọi m thì (m-1)^2 \ge 0 \Rightarrow m^2 - 2m + 1 \ge 0 \Rightarrow m^2 + 2 \ge 2m + 1 (chỉ đúng khi 2m+1 > 0)).

P = \left( \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{8x}{4 - x} \right) : \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 2\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \right)

\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{8x}{(2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})} = \frac{4\sqrt{x}(2 - \sqrt{x}) + 8x}{(2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})} = \frac{8\sqrt{x} - 4x + 8x}{4 - x} = \frac{4x + 8\sqrt{x}}{4 - x} = \frac{4\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})} = \frac{4\sqrt{x}}{2 - \sqrt{x}}

\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} - \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1 - 2(\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} - 1 - 2\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} = \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)}

P = \frac{4\sqrt{x}}{2 - \sqrt{x}} : \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} = \frac{4\sqrt{x}}{-( \sqrt{x} - 2)} \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)}{3 - \sqrt{x}} = \frac{-4x}{3 - \sqrt{x}} = \frac{4x}{\sqrt{x} - 3}

Giả sử z>y>x>0

Đặt y=x+u, z=x+u+v

E=x(u^+uv+v^) +v^(2u+v)

Khi u=0 vàv=0 thì E=0