a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn

• Đường tròn thứ nhất: tâm \(O\), bán kính \(O A\).
• Đường tròn thứ hai: đường tròn đường kính \(O A\) ⇒ tâm là \(I\), với \(I\) là trung điểm của \(O A\), bán kính:

Khoảng cách giữa hai tâm:

So sánh:

• Bán kính đường tròn lớn: \(R = O A\),
• Bán kính đường tròn nhỏ: \(r = \frac{O A}{2}\).

Ta có:

⇒ Hai đường tròn tiếp xúc trong tại điểm \(A\).

b) Chứng minh \(A C = C D\)

• Gọi \(A D\) là một dây của đường tròn lớn \(\left(\right. O \left.\right)\), cắt đường tròn nhỏ tại \(C\).
• Vì \(C\) nằm trên đường tròn đường kính \(O A\) nên:

Suy ra:

Mà:

• \(O\) là tâm của đường tròn lớn,
• \(O C \bot A D\),

⇒ \(O C\) là đường trung trực của dây \(A D\).

Do đó:

Vì hai đường tròn tiếp xúc tại \(A\) nên:

• \(O , A , O^{'}\) thẳng hàng,
• tồn tại phép vị tự tâm \(A\) biến đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) thành đường tròn \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\).

Xét phép vị tự tâm \(A\), tỉ số \(k = \frac{r}{R}\):

• Điểm \(B\) trên \(\left(\right. O \left.\right)\) được biến thành điểm \(C\) trên \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\),
• Đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) được biến thành \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\).

Tính chất của phép vị tự:

• Biến tiếp tuyến tại \(B\) của \(\left(\right. O \left.\right)\) thành tiếp tuyến tại \(C\) của \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\),
• Biến đường thẳng không đi qua tâm vị tự thành đường thẳng song song.

Do tiếp tuyến tại \(B\) không đi qua \(A\), nên ảnh của nó là tiếp tuyến tại \(C\) song song với nó.

Suy ra:

Vì hai đường tròn tiếp xúc tại \(A\) nên:

• \(O , A , O^{'}\) thẳng hàng,
• tồn tại phép vị tự tâm \(A\) biến đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) thành đường tròn \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\).

Xét phép vị tự tâm \(A\), tỉ số \(k = \frac{r}{R}\):

• Điểm \(B\) trên \(\left(\right. O \left.\right)\) được biến thành điểm \(C\) trên \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\),
• Đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) được biến thành \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\).

Tính chất của phép vị tự:

• Biến tiếp tuyến tại \(B\) của \(\left(\right. O \left.\right)\) thành tiếp tuyến tại \(C\) của \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\),
• Biến đường thẳng không đi qua tâm vị tự thành đường thẳng song song.

Do tiếp tuyến tại \(B\) không đi qua \(A\), nên ảnh của nó là tiếp tuyến tại \(C\) song song với nó.

Suy ra:

a)kẻ tiếp tuyến chung tại a cắ de tại i

ta có id=ia=ie ( tích chất tiếp tuyến cắt nhau)

=> tam giác dae vuông tại a

vậy góc dae=90 độ

b) góc adm=90 độ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(o)

góc aem= 90 độ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(o)

c) Trong hình chữ nhật ADME gọi I là giao điểm của hai đường chéo

=> I là trung điểm DE

Theo câu a, tiếp tuyến tại A đi qua trung điểm DE ,nên đó chính là đường thẳng Al hay AM

Mà ME vuông góc OO tại A

Vậy MA là tiếp tuyến chung

Theo Cosi 

\(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} \geq 2 \sqrt{\frac{a^{2} . b^{2}}{b^{2} . c^{2}}} = \frac{2 a}{c} ; \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq 2 \sqrt{\frac{b^{2} . c^{2}}{c^{2} . a^{2}}} = \frac{2 b}{a} ; \frac{c^{2}}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{b^{2}} \geq 2 \sqrt{\frac{c^{2} . a^{2}}{a^{2} . b^{2}}} = \frac{2 c}{b}\)

Cộng vế với vế 

\(2 \left(\right. \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \left.\right) \Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b}\)

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c 

Vì \(x>\sqrt{2}\) nên \(x^{2}>2\). Do đó \(x^{2}-2>0\). Bất đẳng thức \(x^{2}(x^{2}-2)>0\)

Vì \(x>\sqrt{2}\) nên \(x^{2}>2\). Do đó \(x^{2}-2>0\). Bất đẳng thức \(x^{2}(x^{2}-2)>0\)

x=y=1/2

Ta có \((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1=[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]+1=(x^{2}-5x+4)(x^{2}-5x+6)+1\). Đặt \(t=x^{2}-5x+4\), biểu thức trở thành \(t(t+2)+1=t^{2}+2t+1=(t+1)^{2}\). Thay \(t\) trở lại, ta được \((x^{2}-5x+4+1)^{2}=(x^{2}-5x+5)^{2}\). Vì \((x^{2}-5x+5)^{2}\ge 0\) với mọi số thực \(x\), nên bất đẳng thức \((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1\ge 0\) được chứng minh.

Ta cần chứng minh rằng với mọi số thực \(x\), luôn có \(4x^{8}-2x^{7}+x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1>0\). Đặt \(P(x)=4x^{8}-2x^{7}+x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1\). Ta có thể nhóm các hạng tử để tạo thành các bình phương: \(P(x)=(x^{8}-2x^{7}+x^{6})+(3x^{8}-3x^{4})+(x^{2}-x+1)\) \(P(x)=x^{6}(x^{2}-2x+1)+3x^{4}(x^{4}-1)+(x^{2}-x+1)\) \(P(x)=x^{6}(x-1)^{2}+3x^{4}(x^{2}-1)(x^{2}+1)+(x^{2}-x+1)\) \(P(x)=x^{6}(x-1)^{2}+3x^{4}(x-1)(x+1)(x^{2}+1)+(x^{2}-x+1)\) Cách phân tích này không hiệu quả. Step 2: Phân tích lại Ta sẽ nhóm các hạng tử theo một cách khác để tạo ra các bình phương. \(P(x)=(x^{8}-2x^{7}+x^{6})+(x^{6}-2x^{5}+x^{4})+(x^{4}-2x^{3}+x^{2})+(x^{2}-x+1)+3x^{8}-2x^{6}-2x^{4}+x^{5}+2x^{3}-x\) Cách này cũng không hiệu quả. Step 3: Phân tích đa thức thành tổng các bình phương Ta có thể nhóm các hạng tử như sau: \(P(x)=(x^{8}-2x^{7}+x^{6})+(3x^{8}-3x^{4})+(x^{2}-x+1)\) \(P(x)=x^{6}(x-1)^{2}+3x^{4}(x^{4}-1)+(x^{2}-x+1)\) Cách này vẫn không đúng. Ta thử một cách khác: \(P(x)=\left(4x^{8}-2x^{7}+\frac{1}{4}x^{6}\right)+\left(\frac{3}{4}x^{6}-3x^{4}\right)+(x^{2}-x+1)\) \(P(x)=\frac{1}{4}x^{6}(16x^{2}-8x+1)+...\) Cách này cũng không hiệu quả. Step 4: Phân tích đa thức Ta có thể viết lại đa thức như sau: \(P(x)=\left(x^{8}-2x^{7}+x^{6}\right)+\left(x^{6}-2x^{5}+x^{4}\right)+\left(x^{4}-2x^{3}+x^{2}\right)+\left(x^{2}-x+\frac{1}{4}\right)+\left(x^{8}-2x^{6}+x^{4}\right)+\left(x^{8}-x^{6}\right)+\left(x^{8}-x^{4}\right)+\dots \) Cách này quá phức tạp. Ta sẽ sử dụng một cách tiếp cận khác, phân tích \(P(x)\) thành tổng các bình phương. \(P(x)=4x^{8}-2x^{7}+x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1\) \(P(x)=(2x^{4}-\frac{1}{2}x^{3})^{2}+\frac{3}{4}x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1\) \(P(x)=4x^{8}-2x^{7}+\frac{1}{4}x^{6}+\frac{3}{4}x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1\) \(P(x)=\left(2x^{4}-\frac{1}{2}x^{3}\right)^{2}+\frac{3}{4}x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1\) Cách này cũng không hiệu quả

.Ta thử nhóm như sau: \(P(x)=(2x^{4}-x^{3})^{2}+x^{6}-3x^{4}+x^{2}-x+1\) \(P(x)=(2x^{4}-x^{3})^{2}+(x^{3}-\frac{1}{2}x)^{2}+\frac{3}{4}x^{2}-x+1\) \(P(x)=(2x^{4}-x^{3})^{2}+(x^{3}-\frac{1}{2}x)^{2}+\frac{3}{4}\left(x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}\right)\) \(P(x)=(2x^{4}-x^{3})^{2}+(x^{3}-\frac{1}{2}x)^{2}+\frac{3}{4}\left(x^{2}-2\cdot \frac{2}{3}x+\frac{4}{9}+\frac{8}{9}\right)\) \(P(x)=(2x^{4}-x^{3})^{2}+(x^{3}-\frac{1}{2}x)^{2}+\frac{3}{4}\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}+\frac{2}{3}\) Vì \((2x^{4}-x^{3})^{2}\ge 0\), \((x^{3}-\frac{1}{2}x)^{2}\ge 0\), \(\frac{3}{4}\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}\ge 0\), và \(\frac{2}{3}>0\), nên \(P(x)>0\) với mọi \(x\).