Đường tròn nhỏ có đường kính OA. Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Điều này có nghĩa là điểm C nằm trên đường tròn đường kính OA. Theo tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, tam giác ACO vuông tại C, hay AC vuông góc CO. 

Xét tam giác AOD trong đường tròn lớn O. Ta có OA=OD (cùng là bán kính của đường tròn tâm O, suy ra tam giác AOD là tam giác cân tại O 

Vì AC vuông góc với CO (cmt), nên OC là đường cao xuất phát từ đỉnh O xuống cạnh AD của tam giác cân AOD. 

Trong một tam giác cân, đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Do đó, C là trung điểm của AD.

Từ đó suy ra AC=CD. 

các tiếp tuyến tại B và C song song với nhau.

dựa trên việc sử dụng các tính chất của tam giác cân tạo bởi bán kính và dây cung, cùng với các góc so le trong hoặc đồng vị được hình thành khi hai đường tròn tiếp xúc nhau.

khi hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại A, góc giữa tiếp tuyến tại B và đường thẳng BC bằng góc giữa tiếp tuyến tại C và đường thẳng BC

=> chúng song song với nhau.

a. Vì AB là đường kính của (O), các điểm D và E nằm trên đường tròn, nên các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông:=> góc ADB =90°

Vì AC là đường kính của (O'), điểm E nằm trên đường tròn, nên góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông:=> góc AEC=90°

Gọi T là tiếp điểm của tiếp tuyến chung DE với hai đường tròn. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: TD=TA và TE=TA => tam giác TAD và tam giác TEA là các tam giác cân tại T => góc TDA=góc TAD và góc TEA= góc TAE.

trong tam giác DAE, tổng là 180°

=> góc DAE +( góc ADB + góc ACE)=180°

=> góc DAE=90°

b. tứ giác ADME là hcn

ta có góc DAE =90° (cmt)

BD vuông góc với AD , CE vuông góc với AE. do AD vuông góc với AE

=> BD song song với ME, CE song song với AD

c. Gọi I là trung điểm của DE. Vì ADME là hình chữ nhật, I cũng là trung điểm của AM và IA=ID=IE.

Trong (O), ID là bán kính và ID vuông góc với DE. Do IA= ID, tam giác IAD cân.

mà góc MAD= góc EDA(so le trong do AM || DE).

mà góc EDA = góc ABD (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AD trong (O)).

Do đó góc MAD = góc ABD. Đây là tính chất của góc tạo bởi tiếp tuyến MA và dây cung AD.