S(n).S(n+1)=3.29=1.87S(n).S(n+1)=3.29=1.87

- Nếu S(n)=1⇒S(n)=1⇒ nn có dạng 100...0100...0 ⇒S(n+1)=2≠87⇒S(n+1)=2≠87 (loại)

⇒S(n).S(n+1)=3.29⇒S(n).S(n+1)=3.29

Gọi nn có dạng ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯a1a2...aka1a2...ak¯ với ai∈N;a1≠0ai∈N;a1≠0

- Nếu ak≠9⇒S(n+1)=S(n)+1⇒S(n)ak≠9⇒S(n+1)=S(n)+1⇒S(n) và S(n+1)S(n+1) luôn khác tính chẵn lẻ ⇒S(n).S(n+1)⇒S(n).S(n+1) là một số chẵn, mà 87 lẻ ⇒⇒ loại

⇒ak=9⇒ak=9 ⇒S(n)>S(n+1)⇒{S(n)=29S(n+1)=3⇒S(n)>S(n+1)⇒{S(n)=29S(n+1)=3 ⇒S(n)−S(n+1)=26⇒S(n)−S(n+1)=26

Giả sử tận cùng bằng xx số 9 ⇒n=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯A9...9⇒n=A9...9¯ với A có tận cùng khác 9

⇒n+1=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯B0...0⇒n+1=B0...0¯ (x số 0 và B=A+1B=A+1)

⇒{S(n)=S(A)+9.xS(n+1)=S(B)=S(A+1)=S(A)+1⇒{S(n)=S(A)+9.xS(n+1)=S(B)=S(A+1)=S(A)+1

⇒S(n)−S(n+1)=9x−1=26⇒9x=27⇒x=3⇒S(n)−S(n+1)=9x−1=26⇒9x=27⇒x=3

Vậy n=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯A999⇒S(n)=S(A)+27=29⇒S(A)=2n=A999¯⇒S(n)=S(A)+27=29⇒S(A)=2

Mà nn nhỏ nhất khi AA nhỏ nhất, ta có số nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng 2 là 2 ⇒A=2⇒A=2

⇒n=2999