Dựa vào hình vẽ, ta có \(A B \bot B C\) và \(A B^{'} \bot B^{'} C^{'}\). Đồng thời \(A C\) và \(A C^{'}\) cùng nằm trên một đường thẳng. Do đó hai tam giác vuông \(\triangle A B C\) và \(\triangle A B^{'} C^{'}\) là đồng dạng (góc–góc).

Từ tính chất đồng dạng suy ra tỉ số các cạnh tương ứng:

\(\frac{A B}{A B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \frac{a}{a^{'}} .\)

Mà \(A B = x + h\) và \(A B^{'} = h\), nên:

\(\frac{x + h}{h} = \frac{a}{a^{'}} .\)

Nhân chéo:

\(a^{'} h + a^{'} x = a h .\)

Chuyển vế:

\(a^{'} x = a h - a^{'} h = h \left(\right. a - a^{'} \left.\right) .\)

Suy ra:

\(x = \frac{h \left(\right. a - a^{'} \left.\right)}{a^{'}} = \frac{a h}{a^{'} - a} .\)

Vậy ta chứng minh được:

\(\boxed{x = \frac{a h}{a^{'} - a}} .\)

Dựa vào hình vẽ, ta có \(A B \bot B C\) và \(A B^{'} \bot B^{'} C^{'}\). Đồng thời \(A C\) và \(A C^{'}\) cùng nằm trên một đường thẳng. Do đó hai tam giác vuông \(\triangle A B C\) và \(\triangle A B^{'} C^{'}\) là đồng dạng (góc–góc).

Từ tính chất đồng dạng suy ra tỉ số các cạnh tương ứng:

\(\frac{A B}{A B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \frac{a}{a^{'}} .\)

Mà \(A B = x + h\) và \(A B^{'} = h\), nên:

\(\frac{x + h}{h} = \frac{a}{a^{'}} .\)

Nhân chéo:

\(a^{'} h + a^{'} x = a h .\)

Chuyển vế:

\(a^{'} x = a h - a^{'} h = h \left(\right. a - a^{'} \left.\right) .\)

Suy ra:

\(x = \frac{h \left(\right. a - a^{'} \left.\right)}{a^{'}} = \frac{a h}{a^{'} - a} .\)

Vậy ta chứng minh được:

\(\boxed{x = \frac{a h}{a^{'} - a}} .\)

Vì \(A B \parallel C D\) và đường thẳng qua các điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) song song với \(A B\), ta có thể áp dụng định lý Thales cho các tam giác có các cạnh tương ứng tỷ lệ với nhau

Do \(A B \parallel C D\), ta có tỉ số giữa các đoạn cắt trên các đường chéo của hình thang là bằng nhau.

Vì các đoạn \(M N\) và \(P Q\) tương ứng có tỉ lệ bằng nhau trong các tam giác đồng dạng, ta suy ra rằng:

\(M N = P Q .\)

Xét tam giác \(A B C\) và \(A B D\)
Từ tính chất của hình thang, ta biết rằng \(A B \parallel C D\). Do đó, theo định lý Tính chất của đường chéo trong hình thang, trong tam giác \(A B C\) và \(A B D\) ta có:

• \(O\) là giao điểm của hai đường chéo, do đó áp dụng định lý đoạn cắt nhau của hai đường chéo trong hình thang:

\(\frac{O A}{O B} = \frac{O C}{O D} .\)

Vì \(A B \parallel C D\), do đó theo định lý trên, ta có:

OA⋅OD=OB⋅OC

Do \(D E \parallel A C\) nên trong tam giác \(A B C\), theo định lý Ta-lét ta có:

\(\frac{A E}{A B} = \frac{B D}{B C} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Do \(D F \parallel A B\) nên cũng theo định lý Ta-lét:

\(\frac{A F}{A C} = \frac{C D}{B C} \left(\right. 2 \left.\right)\)

AE/AB + AF/AC = BD/BC + CD/BC = BD + CD/BC

Mà:

\(B D + C D = B C\)

nên:

\(\frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = \frac{B C}{B C} = 1\)

\(\)