Xét tam giác ABC có BC ⟂ AB' và B'C' ⟂ AB' nên suy ra BC // B'C'.

Theo hệ quả định lí Ta-lét, ta có:

AB / AB' = BC / BC'.

Suy ra:

x / (x + h) = a / a'.

a'·x = a(x + h)

a'·x − a·x = a·h

x(a' − a) = a·h

x = ah / (a' − a).

Xét tam giác ABC có BC ⟂ AB' và B'C' ⟂ AB' nên suy ra BC // B'C'.

Theo hệ quả định lí Ta-lét, ta có:

AB / AB' = BC / BC'.

Suy ra:

x / (x + h) = a / a'.

a'·x = a(x + h)

a'·x − a·x = a·h

x(a' − a) = a·h

x = ah / (a' − a).

Trong tam giác ADB, ta có: MN // AB (gt).

Suy ra:

DN / DB = MN / AB (hệ quả định lí Ta-lét) (1).

Trong tam giác ACB, ta có: PQ // AB (gt).

Suy ra:

CQ / CB = PQ / AB (hệ quả định lí Ta-lét) (2).

Lại có: NQ // AB (gt); AB // CD (gt).

Suy ra: NQ // CD.

Trong tam giác BDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên).

Suy ra:

DN / DB = CQ / CB (định lí Ta-lét) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

MN / AB = PQ / AB hay MN = PQ (đpcm).

ABCD là hình thang suy ra AB // CD.

Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét, ta có:

OA / OC = OB / OD.

Suy ra OA · OD = OB · OC (đpcm).

Ta có DE // AC ⇒ AE / AB = CD / BC (Ta-lét).

Ta có DF // AB ⇒ AF / AC = BD / BC (Ta-lét).

⇒ AE / AB + AF / AC = CD / BC + BD / BC = BC / BC = 1 (đpcm).