a) Vì hình vuông \(A B C D\) có tâm \(E\) suy ra \(E A = E B = E C = E D\).

Do đó, các điểm \(A\), \(B\), \(C\) và \(D\) cùng thuộc một đường tròn tâm \(E\).

Hai trục đối xứng của đường tròn là \(A C\) và \(B D\).

b) Cạnh hình vuông bằng \(3\) cm nên áp dụng định lí Pythagore, ta có:

\(A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = 3 \sqrt{2}\) suy ra \(E A = \frac{A C}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}\).

Vậy bán kính của đường tròn là \(R = E A = \frac{3 \sqrt{2}}{2}\) cm.

Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của bốn cạnh \(A B\), \(B C\), \(C D\) và \(D A\) của hình thoi \(A B C D\).

Gọi \(O\) là giao điểm của \(A C\) và \(B D\).

Ta có \(A C ⊥ B D\).

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:

\(O M = \frac{1}{2} A B\); \(O N = \frac{1}{2} B C\);

\(O P = \frac{1}{2} C D\); \(O Q = \frac{1}{2} A D\)

Mặt khác \(A B = B C = C D = D A\) nên \(O M = O N = O P = O Q\).

Do đó bốn điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) cùng nằm trên một đường tròn.

a) Ta có \(\hat{C E B} = \hat{C A B} = 9 0^{o}\) nên 4 điểm A, B, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

 b) Kẻ \(F P \bot B C\) tại P. Ta thấy D là trực tâm tam giác FBC nên \(P \in D F\). Dễ thấy \(\Delta C D P \&\text{nbsp}; \Delta C B A \left(\right. g . g \left.\right)\) \(\Rightarrow \frac{C D}{C B} = \frac{C P}{C A}\) \(\Rightarrow C D . C A = C B . C P\)

CMTT, ta có \(B D . B E = B C . B P\)

Do đó \(C D . C A + B D . B E = C B . C P + B C . B P\) \(= B C \left(\right. C P + B P \left.\right)\) \(= B C^{2}\). Vậy đẳng thức được chứng minh.

ABCD là hình chữ nhật

=>\(A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}\)

=>\(A C^{2} = a^{2} + b^{2}\)

=>\(A C = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

ABCD là hình chữ nhật

=>A,B,C,D cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Tâm là trung điểm của AC

Bán kính là \(R = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}\)

ΔBC'C vuông tại C'

=>C' nằm trên đường tròn đường kính BC

=>OC'=OB=OC(2)

ΔB'BC vuông tại B'

=>B' nằm trên đường tròn đường kính BC

=>OB'=OB=OC(1)

Từ (1),(2) suy ra OC'=OB=OC=OB'

hay (O;OB') đi qua B,C,C'

Gọi E là trung điểm của AC

∆ACD vuông tại D

DE là đường trung tuyến của ∆ACD

⇒ DE = AE = CE = AC : 2 (1)

∆ABC vuông tại B

BE là đường trung tuyến của ∆ABC

⇒ BE = AE = CE = AC : 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AE = BE = CE = DE

Vậy A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn tâm E, bán kính AE