Từ đoạn trích trên, thông điệp ý nghĩa mà tác giả muốn mang lại là dù chúng ta có ở bất cứ đâu, được sống nơi tiên cảnh đi chăng nữa thì cũng không thoát được khỏi nỗi nhớ quê hương. Quê hương là nơi chứa đựng những kí ức đẹp đẽ, là nguồn cội của mỗi người. Nơi đây là điểm tựa tinh thần vững chắc, là nơi con người tìm về khi cần sự bình yên và che chở. Vậy nên dù đi bất cứ đâu thì quê hương vẫn luôn hiện hữu trong trái tim mỗi người

- Lựa chọn của Từ Thức ở cuối đoạn trích: Chọn vào núi, xa rời cuộc sống trần gian.

- Lí giải là Từ Thức trở nên lạc lõng bơ vơ khi chàng không còn thuộc về chốn thần tiên cũng không còn hợp với cõi nhân gian. Chính vì vậy ra đi là cách tốt nhất cho chàng.

Xét tứ giác \(M N P Q\), ta có: \(M Q\) // \(N P\) và \(M N\) // \(P Q\) suy ra \(M N P Q\) là hình bình hành.

Kéo dài \(A D\) và \(B C\) cắt nhau tại \(E\).

Ta có: \(\hat{C} + \hat{D} = 9 0^{\circ}\) suy ra \(\hat{E} = 9 0^{\circ}\).

Lại có:\(M N\) // \(E D\) và \(M Q\) // \(E C\) suy ra \(M N ⊥ M Q\)

Do đó \(M N P Q\) là hình chữ nhật suy ra \(M , N , P , Q\) nằm trên một đường tròn với tâm là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật, bán kính bằng nửa đường chéo.

Xét tứ giác \(M N P Q\), ta có: \(M Q\) // \(N P\) và \(M N\) // \(P Q\) suy ra \(M N P Q\) là hình bình hành.

Kéo dài \(A D\) và \(B C\) cắt nhau tại \(E\).

Ta có: \(\hat{C} + \hat{D} = 9 0^{\circ}\) suy ra \(\hat{E} = 9 0^{\circ}\).

Lại có:\(M N\) // \(E D\) và \(M Q\) // \(E C\) suy ra \(M N ⊥ M Q\)

Do đó \(M N P Q\) là hình chữ nhật suy ra \(M , N , P , Q\) nằm trên một đường tròn với tâm là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật, bán kính bằng nửa đường chéo.

Xét tứ giác \(M N P Q\), ta có: \(M Q\) // \(N P\) và \(M N\) // \(P Q\) suy ra \(M N P Q\) là hình bình hành.

Kéo dài \(A D\) và \(B C\) cắt nhau tại \(E\).

Ta có: \(\hat{C} + \hat{D} = 9 0^{\circ}\) suy ra \(\hat{E} = 9 0^{\circ}\).

Lại có:\(M N\) // \(E D\) và \(M Q\) // \(E C\) suy ra \(M N ⊥ M Q\)

Do đó \(M N P Q\) là hình chữ nhật suy ra \(M , N , P , Q\) nằm trên một đường tròn với tâm là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật, bán kính bằng nửa đường chéo.

Vì tam giác \(A B C\) đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao.

Suy ra \(A M , B N , C P\) lần lượt vuông góc với \(B C , A C , A B\).

\(\Delta B P C\) là tam giác vuông, có \(B C\) là cạnh huyền nên \(M P = \frac{1}{2} B C = B M = M C\) (1)

\(\Delta B N C\) là tam giác vuông, có \(B C\) là cạnh huyền nên \(N M = \frac{1}{2} B C = B M = M C\) (2) 

Từ (1) và (2) suy ra \(P M = N M = M B = M C\) hay các điểm \(B , P , N , C\) cùng thuộc đường tròn, đường kính \(B C = a\), tâm đường tròn là trung điểm \(M\) của \(B C\).

Vì ba tam giác \(A D M , A E M , A H M\) có chung cạnh huyền \(A M\) nên ba đỉnh góc vuông \(D , E , H\) nằm trên đường tròn đường kính \(A M\) có tâm là trung điểm của \(A M\).

Vậy năm điểm \(A , D , M , H , E\) cùng nằm trên một đường tròn.

a) Giả sử đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có bán kính \(R\) suy ra \(O A = R\) \(\left(\right. 1 \left.\right)\)

Do \(B\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(d\) suy ra \(O A = O B\) \(\left(\right. 2 \left.\right)\)

Do \(C\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(O\) suy ra \(O A = O C\) \(\left(\right. 3 \left.\right)\)

Do \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(O\) suy ra \(O B = O D\) \(\left(\right. 4 \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right)\), \(\left(\right. 2 \left.\right)\), \(\left(\right. 3 \left.\right)\) và \(\left(\right. 4 \left.\right)\) suy ra \(B\), \(C\) và \(D\) cùng thuộc \(\left(\right. O \left.\right)\).

b) Ta thấy \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đường, suy ra \(A B C D\) là hình chữ nhật.

c) Ta thấy \(O C = O D\) suy ra \(d\) là đường trung trực của \(C D\).

Suy ra \(C\) và \(D\) đối xứng với nhau qua \(d\).

Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của bốn cạnh \(A B\), \(B C\), \(C D\) và \(D A\) của hình thoi \(A B C D\).

Gọi \(O\) là giao điểm của \(A C\) và \(B D\).

Ta có \(A C ⊥ B D\).

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:

\(O M = \frac{1}{2} A B\); \(O N = \frac{1}{2} B C\);

\(O P = \frac{1}{2} C D\); \(O Q = \frac{1}{2} A D\)

Mặt khác \(A B = B C = C D = D A\) nên \(O M = O N = O P = O Q\).

Do đó bốn điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) cùng nằm trên một đường tròn.

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(A C\) và \(B D\).

Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có \(O A = O B = O C = O D \left(\right. = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} B D \left.\right)\).

Vậy bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) cùng thuộc \(\left(\right. O ; \frac{1}{2} A C \left.\right)\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông \(A B C\), ta có: \(A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = a^{2} + b^{2}\)

Do đó \(R = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}\).