a) Vẽ đường tròn \(\left(\right. C ; 2\) cm\(\left.\right)\)

b) Đường tròn \(\left(\right. O ; 2\) cm\(\left.\right)\) và \(\left(\right. A ; 2\) cm\(\left.\right)\) cắt nhau tại \(C\), \(D\), điểm \(A\) nằm trên đường tròn tâm \(O\) nên:

\(O C = O D = 2\) cm, \(A C = A D = 2\) cm.

Suy ra \(O C = C A = 2\) cm.

Do đó đường tròn \(\left(\right. C ; 2\) cm\(\left.\right)\) đi qua hai điểm \(O\) và \(A\).

Hướng dẫn giải:

Xét tứ giác \(M N P Q\), ta có: \(M Q\) // \(N P\) và \(M N\) // \(P Q\) suy ra \(M N P Q\) là hình bình hành.

Kéo dài \(A D\) và \(B C\) cắt nhau tại \(E\).

Ta có: \(\hat{C} + \hat{D} = 9 0^{\circ}\) suy ra \(\hat{E} = 9 0^{\circ}\).

Lại có:\(M N\) // \(E D\) và \(M Q\) // \(E C\) suy ra \(M N ⊥ M Q\)

Do đó \(M N P Q\) là hình chữ nhật suy ra \(M , N , P , Q\) nằm trên một đường tròn với tâm là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật, bán kính bằng nửa đường chéo.

Δ​ABC đều

mà AM,BN,CP là các đường trung tuyến

nên AM,BN,CP là các đường cao

Xét tứ giác BPNC có \(\hat{B P C} = \hat{B N C} = 9 0^{0}\)

nên BPNC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>B,P,N,C cùng thuộc một đường tròn

Bán kính là \(R = \frac{B C}{2} = \frac{a}{2}\)

Ta có: \(\hat{A E M} = \hat{A D M} = \hat{A H M} = 9 0^{0}\)

=>A,E,M,D,H cùng thuộc đường tròn đường kính AM

a: B đối xứng A qua d

=>d là đường trung trực của AB

=>O nằm trên đường trung trực của AB

=>OA=OB

=>B thuộc (O)

C đối xứng A qua O

=>O là trung điểm của AC

=>OA=OC

=>C thuộc (O)

D đối xứng B qua O

=>O là trung điểm của BD

=>OB=OD

=>D nằm trên (O)

b: Xét tứ giác ABCD có

O là trung điểm chung của AC và BD

=>ABCD là hình bình hành

Hình bình hành ABCD có AC=BD

nên ABCD là hình chữ nhật

c: Ta có: OC=OD

=>O nằm trên đường trung trực của CD

Ta có: AB//CD

d\(\bot\)AB

Do đó: d\(\bot\)CD

mà d\(\supset\)O

và O nằm trên đường trung trực của CD

nên d là đường trung trực của CD

=>C đối xứng với D qua d

a:

Vì ABCD là hình vuông

nên AC vuông góc với BD tại trung điểm của mỗi đường, AC=BD

=>E là trung điểm chung của AC và BD; AC=BD

=>EA=EB=EC=ED

=>A,B,C,D cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Tâm là trung điểm E của AC

Hai trục đối xứng của đường tròn là AC,BD

b: ABCD là hình vuông

=>\(A C = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{9 + 9} = 3 \sqrt{2} \left(\right. c m \left.\right)\)

Bán kính của (E) là \(R = \frac{A C}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \left(\right. c m \left.\right)\)

Xét hình thoi \(A B C D\). có

• \(M\) là trung điểm của cạnh \(A B\)
• \(N\) là trung điểm của cạnh \(B C\)
• \(P\) là trung điểm của cạnh \(C D\)
• \(Q\) là trung điểm của cạnh \(D A\)

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(A C\) và \(B D\).

Do các trung điểm \(M , N , P , Q\) của các cạnh hình thoi có đối xứng qua điểm \(O\), ta có:

• \(M\) và \(P\) đối xứng nhau qua \(O\)
• \(N\) và \(Q\) đối xứng nhau qua \(O\)

Từ đó, tứ giác \(M N P Q\) là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc cắt nhau tại trung điểm.

⟹ \(M N P Q\) là hình chữ nhật.

Tứ giác \(M N P Q\) là hình chữ nhật ⟹ nội tiếp được một đường tròn.

⟹ Bốn trung điểm của bốn cạnh của hình thoi cùng nằm trên một đường tròn. □

 a) Ta có \(\hat{C E B} = \hat{C A B} = 9 0^{o}\) nên 4 điểm A, B, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

 b) Kẻ \(F P \bot B C\) tại P. Ta thấy D là trực tâm tam giác FBC nên \(P \in D F\). Dễ thấy \(\Delta C D P \&\text{nbsp}; \Delta C B A \left(\right. g . g \left.\right)\) \(\Rightarrow \frac{C D}{C B} = \frac{C P}{C A}\) \(\Rightarrow C D . C A = C B . C P\)

CMTT, ta có \(B D . B E = B C . B P\)

Do đó \(C D . C A + B D . B E = C B . C P + B C . B P\) \(= B C \left(\right. C P + B P \left.\right)\) \(= B C^{2}\). Vậy đẳng thức được chứng minh.

ABCD là hình chữ nhật

=>\(A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}\)

=>\(A C^{2} = a^{2} + b^{2}\)

=>\(A C = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

ABCD là hình chữ nhật

=>A,B,C,D cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Tâm là trung điểm của AC

Bán kính là \(R = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}\)

ΔBC'C vuông tại C'

=>C' nằm trên đường tròn đường kính BC

=>OC'=OB=OC(2)

ΔB'BC vuông tại B'

=>B' nằm trên đường tròn đường kính BC

=>OB'=OB=OC(1)

Từ (1),(2) suy ra OC'=OB=OC=OB'

hay (O;OB') đi qua B,C,C'