Vì ba tam giác \(A D M , A E M , A H M\) có chung cạnh huyền \(A M\) nên ba đỉnh góc vuông \(D , E , H\) nằm trên đường tròn đường kính \(A M\) có tâm là trung điểm của \(A M\).

Vậy năm điểm \(A , D , M , H , E\) cùng nằm trên một đường tròn.

a) Giả sử đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có bán kính \(R\) suy ra \(O A = R\) \(\left(\right. 1 \left.\right)\)

Do \(B\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(d\) suy ra \(O A = O B\) \(\left(\right. 2 \left.\right)\)

Do \(C\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(O\) suy ra \(O A = O C\) \(\left(\right. 3 \left.\right)\)

Do \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(O\) suy ra \(O B = O D\) \(\left(\right. 4 \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right)\), \(\left(\right. 2 \left.\right)\), \(\left(\right. 3 \left.\right)\) và \(\left(\right. 4 \left.\right)\) suy ra \(B\), \(C\) và \(D\) cùng thuộc \(\left(\right. O \left.\right)\).

b) Ta thấy \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đường, suy ra \(A B C D\) là hình chữ nhật.

c) Ta thấy \(O C = O D\) suy ra \(d\) là đường trung trực của \(C D\).

Suy ra \(C\) và \(D\) đối xứng với nhau qua \(d\).

a) Vì hình vuông \(A B C D\) có tâm \(E\) suy ra \(E A = E B = E C = E D\).

Do đó, các điểm \(A\), \(B\), \(C\) và \(D\) cùng thuộc một đường tròn tâm \(E\).

Hai trục đối xứng của đường tròn là \(A C\) và \(B D\).

b) Cạnh hình vuông bằng \(3\) cm nên áp dụng định lí Pythagore, ta có:

\(A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = 3 \sqrt{2}\) suy ra \(E A = \frac{A C}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}\).

Vậy bán kính của đường tròn là \(R = E A = \frac{3 \sqrt{2}}{2}\) cm.

Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của bốn cạnh \(A B\), \(B C\), \(C D\) và \(D A\) của hình thoi \(A B C D\).

Gọi \(O\) là giao điểm của \(A C\) và \(B D\).

Ta có \(A C ⊥ B D\).

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:

\(O M = \frac{1}{2} A B\); \(O N = \frac{1}{2} B C\);

\(O P = \frac{1}{2} C D\); \(O Q = \frac{1}{2} A D\)

Mặt khác \(A B = B C = C D = D A\) nên \(O M = O N = O P = O Q\).

Do đó bốn điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) cùng nằm trên một đường tròn.

Gọi \(O\) là trung điểm của \(B C\).

Ta có \(B D\) là đường cao nên \(B D ⊥ A C\), hay tam giác \(B C D\) vuông tại \(D\).

Trong tam giác vuông \(B C D\) có \(D O\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(B C\) nên:

\(O D = O B = O C = \frac{1}{2} B C\) \(\left(\right. 1 \left.\right)\)

Tương tự ta có: \(O E = O B = O C = \frac{1}{2} B C\) \(\left(\right. 2 \left.\right)\)

Và \(O F = O B = O C = \frac{1}{2} B C\) \(\left(\right. 3 \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right)\), \(\left(\right. 2 \left.\right)\) và \(\left(\right. 3 \left.\right)\) suy ra \(O B = O C = O D = O D = O E = O F\).

Do đó năm điểm \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(A C\) và \(B D\).

Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có \(O A = O B = O C = O D \left(\right. = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} B D \left.\right)\).

Vậy bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) cùng thuộc \(\left(\right. O ; \frac{1}{2} A C \left.\right)\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông \(A B C\), ta có: \(A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = a^{2} + b^{2}\)

Do đó \(R = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}\).

Tứ giác \(A B C D\) có \(\hat{B} = \hat{D} = 9 0^{\circ}\) nên \(O A = O B = O C = O D\) (đường cao ứng với cạnh huyền).

Suy ra bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) cùng nằm trên một đường tròn tâm \(O\), đường kính \(A C\).