a) Vì AB là dây cung của đường kính (O; R) nên ta có OA = OB = R.

Khi đó, O nằm trên đường trung trực của AB.

Lại có M là trung điểm của AB nên M cũng nằm trên đường trung trực của AB.

Do đó OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

b) Vì M là trung điểm của AB nên ta có MA=MB=AB/2=8/2=4 (cm).

Vì OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OM ⊥ AB hay ∆OAM vuông tại M.

Theo định lí Pythagore ta có: OA² = OM² + AM²

Suy ra OM² = OA² – AM² = 5² – 4² = 9.

Do đó OM = 3 cm.

Vậy khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là 3 cm.

Gọi T là giao điểm của hai đường thẳng AD và CB. Vì ˆTDC+ˆTCD=90°nên tam giác TCD vuông tại T.

Do MN là đường trung bình tam giác ABD nên MN // AD, MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên MQ // BC.

Mặt khác, AD⊥BC suy ra MN⊥MQ.

Chứng minh tương tự ta cũng có MN⊥NP,NP⊥PQ. Suy ra MNPQ là hình chữ nhật.

Vậy bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn tâm O là giao điểm hai đường chéo MP và NQ.

Δ​ABC đều

mà AM,BN,CP là các đường trung tuyến

nên AM,BN,CP là các đường cao

Xét tứ giác BPNC có \(\hat{B P C} = \hat{B N C} = 9 0^{0}\)

nên BPNC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>B,P,N,C cùng thuộc một đường tròn

Bán kính là \(R = \frac{B C}{2} = \frac{a}{2}\)

Ta có: góc AEM=90 độ

nên E nằm trên đường tròn đường kính AM(1)

Ta có: góc AHM=90°

nên H nằm trên đường tròn đường kính AM(2)

Ta có: góc ADM=90°

nên D nằm trên đường tròn đường kính AM(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A,D,M,H,E cùng nằm trên 1 đường tròn

a) Ta có d là là đường thẳng đi qua tâm O nên d là trục đối xứng của đường tròn

Vì A thuộc (O) và B là điểm đối xứng của A qua d nên B cũng thuộc (O).

Vì C, D lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua O nên C, D cũng thuộc (O).

b) C đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của AC

D đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BD

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O, và BD = AC ( bằng 2 lần bán kính (O))

Nên ABCD là hình chữ nhật.

c) ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD, mà  AB⊥d nên d⊥CD

Xét tam giác OCD có OC = OD nên tam giác OCD cân tại O mà đường thẳng d là đường cao của tam giác OCD nên d cũng là trung trực của CD. Hay C và D đối xứng nhau qua đường thẳng d.

a) Do ABCD là hình vuông nên AC = BD (hai đường chéo bằng nhau), AE = BE = CE = DE (nửa đường chéo). 

Do đó A, B, C, D nằm trên đường tròn tâm E. 

Hai đường chéo đi qua E nên AC, BD là hai trục đối xứng của đường tròn (E).

b) Do ABC là tam giác vuông tại B, có AB = BC = 3 cm nên theo định lí Pythagore, ta được AC2=AB2+BC2=32+32=18.

Suy ra AC=√18=3√2 (cm). 

Vậy bán kính của đường tròn (E) là R=AC2=3√22 (cm).

Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của bốn cạnh AB,BC,CD và DA của hình thoi ABCD.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có AC⊥BD.

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:

OM=1/2AB

ON=1/2BC

OP=1/2CD

OQ=1/2AD

Mặt khác AB=BC=CD=DA nên OM=ON=OP=OQ.

Do đó bốn điểm M,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn.

Gọi O là trung điểm của BC.

Ta có: BD là đường cao nên BD ⊥ AC, hay tam giác BDC vuông tại D.

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

OD = 1/2BC (1).

Tương tự, ta có: OE = OB = OC = 1/2BC  (2) và OF = OB = OC = 1/2BC(3).

Do đó, năm điểm B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn (O; R) với R = 1/2BC.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có:

OA = OB = OC = OD = 1/2AC = 1/2BD.

Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O;1/2AC).