Gọi T là giao điểm của hai đường thắng AD và CB.

Xét ATCD có:

*DTC+^TDC+^TCD=180°

Suy ra ^DTC=180°-(^TDC+*TCD)=180° -90°=90° nên AD

1 BC.

Xét AABD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BD nên

MN là đường trung bình của AABD, do đó MN // AD.

Tương tự, ta có MQ là đường trung bình của AABC nên

MQ // BC.

Mạt khác AD L BC, suy ra MN L MQ.

Chứng minh tương tự ta cũng có MN L NP, NP L PQ.

Suy ra MNPQ là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vưông).

Vậy bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn có tâm O là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ.

Vì AABC đều có 3 đường trung tuyến AM, BN, CP, CB đường H là đường cao của A ABC

Xét ABNC vuông tại N có trung tuyển NM

→ NM=1/2 BC ( trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền băng 1/2 cạnh huyên)

→ MN = MB = MC = 1/2 BC

MP = MB = MC = 1/2 BC

→ Bốn điểm B, P, N, C cùng thuộc một điểm và đường kính băng BC/2=a/2

Ta có: góc AEM=90 độ

nên E nằm trên đường tròn đường kính AM(1)

Ta có: góc AHM=90 độ

nên H nằm trên đường tròn đường kính AM(2)

Ta có: góc ADM=90 độ

nên D nắm trên đường tròn đường kính AM(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A,D,M,H,E cùng nằm trên 1 đường tròn

a) Vì d là một đường kính của đường tròn và B đối xứng với A qua d nên từ A E (O) suy ra AB L d.

Lại có 0 là tâm của đường tròn và C, D lần lượt là điểm đối xứng với A, B qua 0 nên từ A, B E (O) suy ra C và D cũng thuộc đường tròn (O).

Vậy ba điểm B, C và D thuộc đường tròn (O).

b) Vì C đối xứng với A qua 0 nên O là trung điểm của AC.

Vì D đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BD.

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD và O là trung điểm của AC và BD nên ABCD là hình bình hành.

Lại có, AC = BD (cùng băng đường kính của (O)).

Do đó, hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

c) Vì B là điểm đối xứng với A qua d nên d là đường trung trực của AB.

Hình chữ nhật ABCD có AB // CD nên d cũng là đường trung trực của CD.

Do đó C và D đối xứng với nhau qua d.

Do ABCD là hình vuông nên AC = BD (hai đường chéo băng nhau), AE = BE = CE = DE (nửa đường chéo).

Do đó A, B, C, D năm trên đường tròn tâm E.

Hai đường chéo đi qua E nên AC, BD là hai trục đối xứng của đường tròn (E).

b) Do ABC là tam giác vuông tại B, có AB = BC = 3 cm nên theo dịnh lí Pythagore, ta được:

AC^2=AB^2 + BC^2=3^2+ 3^2=18

AC = v18=3V2 (cm)

Bán kính (E) là 3V2/2

Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của bốn cạnh

AB,BC,CD,DA của hình thoi ABCD

Gọi Ở là giao điểm của AC,BD

Ta có AC vuông góc BD

Theo tính chất đường trung tuyển ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:

OM=1/2AB

ON=1/2BC

OP=1/2CD

0Q=1/2AD

Mà AB=BC=CD=DA nên OM=ON=OР=0Q

Hay M,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn

Gọi O là trung điểm của BC.

Ta có: BD là đường cao nên BD L AC, hay tam giác BDC vuông tại D.

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyển ứng với cạnh huyền BC nên

OD = OB = OC = 1/2 BC (1)

Tương tự, ta có: OE = OB = OC = 1/2 BC (2) và OF = OB =

OC = 1/2 BC (3)

Do đó, năm điểm B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn

(0; R) với R =1/2 BC.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Ac và BD.Ta có OA=OB=OC=OD=1/2AC=1/2BD (tính chất hai đường chéo)=>bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc 1 đường tròn (O;1/2AC)

Xét tam giác BCB’ vuông tại B có đường trung tuyến BO ứng với cạnh huyền BC Suy ra B’O=1/2BC. Vì O là trung điểm của BC=>B’O=OB=OC=1/2BC.Tam giác BCC’ vuông tại C’có C’O=OB=OC=1/2BC=>B’O=C’O=OB=OC=1/2BC=> đường tròn tâm O bán kính OB’ đi qua B,C,C’

Gọi M là trung điểm của AC.Tam giác ABC vuông tại B có BM là đường trung tuyến nên BM=1/2AC.Tam giác ACD vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên DM=1/2AC suy ra MA=MB=MC=MD hay A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn