Từ giả thiết \(z \geq y \geq x \geq 0\) suy ra \(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) \geq 0\) (1).

Hai số hạng còn lại của vế trái bất đẳng thức cần chứng minh có nhân tử chung \(z - y \geq 0\) (2) 

và ta có \(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) = \left(\right. z - y \left.\right) \left[\right. z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right.\) (3)

Mà \(z \geq y \geq x \geq 0\) nên \(z \geq y \geq 0\) và \(z - x \geq y - x \geq 0\), từ đó  

\(z \left(\right. z - x \left.\right) \geq y \left(\right. y - x \left.\right)\) nên \(z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \geq 0\) (4)

Từ (2) và (4) suy ra  \(\left(\right. z - y \left.\right) \left[\right. z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right. \geq 0\), kết hợp với (3) suy ra 

\(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\) (5).

Từ (1) và (5) suy ra điều phải chứng minh.

Xét \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\) có \(A H = A B . sin ⁡ \hat{B} = 3. sin ⁡ 6 0^{\circ} \approx 2 , 6\)

Tương tự, xét \(B H = A B . cos ⁡ \hat{B} = 3. cos ⁡ 6 0^{\circ} = 1 , 5\)

Mà \(H C = B C - H B = 4 , 5 - 1 , 5 = 3 , 0\)

Theo định lí Pythagore ta có \(A B^{2} = B H^{2} + A H^{2} = 3^{2} + 2 , 6^{2} = 15 , 76\)

Suy ra \(A B = \sqrt{15 , 76} \approx 4 , 0\)

Xét \(\Delta A H C\) vuông tại \(H\) ta có \(tan ⁡ \hat{A C H} = \frac{A H}{H C} \approx \frac{2 , 6}{3 , 0} \approx tan ⁡ 4 0^{\circ} 5 5^{'}\)

Do \(\hat{A} = 18 0^{\circ} - \hat{B} - \hat{C} = 18 0^{\circ} - \left(\right. 6 0^{\circ} + 4 0^{\circ} 5 5^{'} \left.\right) = 7 9^{\circ} 5^{'}\).

Xét \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\) có \(A H = A B . sin ⁡ \hat{B} = 3. sin ⁡ 6 0^{\circ} \approx 2 , 6\)

Tương tự, xét \(B H = A B . cos ⁡ \hat{B} = 3. cos ⁡ 6 0^{\circ} = 1 , 5\)

Mà \(H C = B C - H B = 4 , 5 - 1 , 5 = 3 , 0\)

Theo định lí Pythagore ta có \(A B^{2} = B H^{2} + A H^{2} = 3^{2} + 2 , 6^{2} = 15 , 76\)

Suy ra \(A B = \sqrt{15 , 76} \approx 4 , 0\)

Xét \(\Delta A H C\) vuông tại \(H\) ta có \(tan ⁡ \hat{A C H} = \frac{A H}{H C} \approx \frac{2 , 6}{3 , 0} \approx tan ⁡ 4 0^{\circ} 5 5^{'}\)

Do \(\hat{A} = 18 0^{\circ} - \hat{B} - \hat{C} = 18 0^{\circ} - \left(\right. 6 0^{\circ} + 4 0^{\circ} 5 5^{'} \left.\right) = 7 9^{\circ} 5^{'}\).

Xét \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\) có \(A H = A B . sin ⁡ \hat{B} = 3. sin ⁡ 6 0^{\circ} \approx 2 , 6\)

Tương tự, xét \(B H = A B . cos ⁡ \hat{B} = 3. cos ⁡ 6 0^{\circ} = 1 , 5\)

Mà \(H C = B C - H B = 4 , 5 - 1 , 5 = 3 , 0\)

Theo định lí Pythagore ta có \(A B^{2} = B H^{2} + A H^{2} = 3^{2} + 2 , 6^{2} = 15 , 76\)

Suy ra \(A B = \sqrt{15 , 76} \approx 4 , 0\)

Xét \(\Delta A H C\) vuông tại \(H\) ta có \(tan ⁡ \hat{A C H} = \frac{A H}{H C} \approx \frac{2 , 6}{3 , 0} \approx tan ⁡ 4 0^{\circ} 5 5^{'}\)

Do \(\hat{A} = 18 0^{\circ} - \hat{B} - \hat{C} = 18 0^{\circ} - \left(\right. 6 0^{\circ} + 4 0^{\circ} 5 5^{'} \left.\right) = 7 9^{\circ} 5^{'}\).

Xét \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\) có \(A H = A B . sin ⁡ \hat{B} = 3. sin ⁡ 6 0^{\circ} \approx 2 , 6\)

Tương tự, xét \(B H = A B . cos ⁡ \hat{B} = 3. cos ⁡ 6 0^{\circ} = 1 , 5\)

Mà \(H C = B C - H B = 4 , 5 - 1 , 5 = 3 , 0\)

Theo định lí Pythagore ta có \(A B^{2} = B H^{2} + A H^{2} = 3^{2} + 2 , 6^{2} = 15 , 76\)

Suy ra \(A B = \sqrt{15 , 76} \approx 4 , 0\)

Xét \(\Delta A H C\) vuông tại \(H\) ta có \(tan ⁡ \hat{A C H} = \frac{A H}{H C} \approx \frac{2 , 6}{3 , 0} \approx tan ⁡ 4 0^{\circ} 5 5^{'}\)

Do \(\hat{A} = 18 0^{\circ} - \hat{B} - \hat{C} = 18 0^{\circ} - \left(\right. 6 0^{\circ} + 4 0^{\circ} 5 5^{'} \left.\right) = 7 9^{\circ} 5^{'}\).

Xét \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\) có \(A H = A B . sin ⁡ \hat{B} = 3. sin ⁡ 6 0^{\circ} \approx 2 , 6\)

Tương tự, xét \(B H = A B . cos ⁡ \hat{B} = 3. cos ⁡ 6 0^{\circ} = 1 , 5\)

Mà \(H C = B C - H B = 4 , 5 - 1 , 5 = 3 , 0\)

Theo định lí Pythagore ta có \(A B^{2} = B H^{2} + A H^{2} = 3^{2} + 2 , 6^{2} = 15 , 76\)

Suy ra \(A B = \sqrt{15 , 76} \approx 4 , 0\)

Xét \(\Delta A H C\) vuông tại \(H\) ta có \(tan ⁡ \hat{A C H} = \frac{A H}{H C} \approx \frac{2 , 6}{3 , 0} \approx tan ⁡ 4 0^{\circ} 5 5^{'}\)

Do \(\hat{A} = 18 0^{\circ} - \hat{B} - \hat{C} = 18 0^{\circ} - \left(\right. 6 0^{\circ} + 4 0^{\circ} 5 5^{'} \left.\right) = 7 9^{\circ} 5^{'}\).