a) Do \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A D\) // \(B C\) và \(A D = B C\).

Do \(A D\) // \(B C\) nên \(\hat{A D B} \&\text{nbsp}; = \hat{C B D}\) (so le trong)

Xét \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

     \(\hat{A H D} \&\text{nbsp}; = \hat{C K B} = 9 0^{\circ}\);

     \(A D = B C\) (chứng minh trên);

     \(\hat{A D H} \&\text{nbsp}; = \hat{C B K}\) (do \(\hat{A D B} \&\text{nbsp}; = \hat{C B D}\)).

Do đó \(\Delta \&\text{nbsp}; A D H = \Delta \&\text{nbsp}; C B K\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(A H = C K\) (hai cạnh tương ứng).

Ta có \(A H \bot \&\text{nbsp}; D B\) và \(C K \bot \&\text{nbsp}; D B\) nên \(A H\) // \(C K\).

Tứ giác \(A H C K\) có \(A H\) // \(C K\) và \(A H = C K\) nên \(A H C K\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do \(A H C K\) là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo \(A C\) và \(H K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(H K\) (giả thiết) nên \(I\) là trung điểm của \(A C\).

Do \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(A C\) nên \(I\) là trung điểm của \(B D\), hay \(I B = I D\).

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác \(A B C\) có hai đường trung tuyến \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\) (giả thiết) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta A B C\).

Suy ra \(G M = \frac{G B}{2}\); \(G N = \frac{G C}{2}\) (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà \(P\) là trung điểm của \(G B\) (giả thiết) nên \(G P = P B = \frac{G B}{2}\) (2)

\(Q\) là trung điểm của \(G C\) (giả thiết) nên \(G Q = Q C = \frac{G C}{2}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(G M = G P\) và \(G N = G Q\).

Xét tứ giác \(P Q M N\) có: \(G M = G P\) và \(G N = G Q\) (chứng minh trên)

Do đó tứ giác \(P Q M N\) có hai đường chéo \(M P\) và \(N Q\) cắt nhau tại trung điểm \(G\) của mỗi đường nên là hình bình hành.

) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

1. Chứng minh \(\Delta O A M = \Delta O C N\) (ý là hai diện tích bằng nhau)

Xét phép đối xứng tâm qua \(O\) (quay \(180^{\circ}\) quanh \(O\)). Phép này biến \(A\) thành \(C\) (vì \(O\) là trung điểm của \(A C\)), và biến đoạn thẳng \(A B\) thành đoạn thẳng \(C D\). Do đó điểm \(M \in A B\) sẽ được biến thành điểm \(N \in C D\). Kết quả là

Diện tích tam giác có thể viết dưới dạng nửa giá trị trị tuyệt đối của định thức vector:

Vì \(\overset{\rightarrow}{O A} = - \overset{\rightarrow}{O C}\) và \(\overset{\rightarrow}{O M} = - \overset{\rightarrow}{O N}\), ta có

Do đó \(\left[\right. O A M \left]\right. = \left[\right. O C N \left]\right.\). (Như vậy hai tam giác có diện tích bằng nhau.)

2. Suy ra tứ giác \(M B N D\) là hình bình hành

Cũng từ phép đối xứng tâm qua \(O\) ta thấy nó biến \(M\) thành \(N\) và biến \(B\) thành \(D\). Vì phép đối xứng tâm giữ song song và độ dài, ảnh của đoạn \(M B\) là đoạn \(N D\). Do đó \(M B \parallel N D\) và \(M B = N D\). Tương tự ảnh của \(B N\) là \(D M\), vậy \(B N \parallel D M\) và \(B N = D M\). Hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \(M B N D\) song song nên \(M B N D\) là hình bình hành.

—

Tóm tắt ngắn: quay \(180^{\circ}\) quanh \(O\) đổi \(A \leftrightarrow C\), \(M \leftrightarrow N\), \(B \leftrightarrow D\). Từ đó suy ra \(\left[\right. O A M \left]\right. = \left[\right. O C N \left]\right.\) và \(M B N D\) là hình bình hành.

a) Chứng minh \(A E F D\) là hình bình hành:

• Ta có: \(E\) là trung điểm của \(A B\), \(F\) là trung điểm của \(C D\).
• Mà \(A B \parallel C D\) (tính chất hình bình hành).
• Suy ra \(A E \parallel D F\) và \(A E = D F\) (vì \(E , F\) là trung điểm).
• Tương tự, \(A D \parallel E F\).
• Vậy tứ giác \(A E F D\) có các cạnh đối song song \(\Rightarrow A E F D\) là hình bình hành.

Chứng minh \(A E C F\) là hình bình hành:

• Xét hai tam giác \(A B C\) và \(C D A\), do \(E , F\) lần lượt là trung điểm của \(A B , C D\).
• Trong tam giác \(A B C\), \(E\) là trung điểm của \(A B\), trong tam giác \(C D A\), \(F\) là trung điểm của \(C D\).
• Do đó \(E F \parallel A C\) và \(E F = \frac{1}{2} A C\).
• Suy ra \(A E \parallel C F\), đồng thời \(E C \parallel A F\).
• Vậy \(A E C F\) là hình bình hành.

b) Chứng minh \(E F = A D , \textrm{ }\textrm{ } A F = E C\):

• Vì \(A E F D\) là hình bình hành \(\Rightarrow E F = A D .\)
• Vì \(A E C F\) là hình bình hành \(\Rightarrow A F = E C .\)

• \(A E F D\) và \(A E C F\) là hai hình bình hành.
• \(E F = A D , \textrm{ }\textrm{ } A F = E C .\)