−94​⋅x=7−2​:214​

Nowadays, leisure activities are totally different from the past. Many people no longer enjoy (1) taking part in outdoor activities after school. Instead, they (2) prefer playing computer games or (3) surfing the web in their free time. Some people (4) depend too much on computer and the Internet. For example, ...

25523883+x​+11441​

Hoặc có thể là một phép cộng các số như:

a)
3883 + x = 2552 + 1441

Ta thử giải theo hướng thứ hai:

\(3883 + x = 2552 + 1441 = 3993\)

Khi đó:

\(x = 3993 - 3883 = 110\)

👉 Đáp án: \(x = 110\) ✅

125

𝑥

=

125

x

125

​

=125

Nhân hai vế với

𝑥

x:

125

=

125

𝑥

125=125x

Chia hai vế cho 125:

𝑥

=

1

x=1

👉 Đáp án:

𝑥

=

1

x=1 ✅

ok

(O;R) là đường tròn tâm

𝑂

O, bán kính

𝑅

R.

𝐶

𝐷

CD là đường kính của

(

𝑂

)

(O),

𝐶

𝐷

=

2

𝑅

CD=2R.

𝑀

M là điểm thay đổi trên đoạn

𝑂

𝐶

OC.

(

𝑂

′

)

(O

′

) là đường tròn đường kính

𝑀

𝐷

MD.

𝐼

I là trung điểm của đoạn

𝑀

𝐶

MC.

Đường thẳng qua

𝐼

I vuông góc với

𝐶

𝐷

CD cắt

(

𝑂

)

(O) tại hai điểm

𝐸

E và

𝐹

F.

Đường thẳng

𝐸

𝐷

ED cắt

(

𝑂

′

)

(O

′

) tại điểm

𝑃

P.

a) Chứng minh ba điểm

𝑃

,

𝑀

,

𝐹

P,M,F thẳng hàng.

Phân tích và hướng dẫn:

Vì

𝐶

𝐷

CD là đường kính

(

𝑂

)

(O), nên

𝑂

O là trung điểm

𝐶

𝐷

CD.

𝑀

M nằm trên

𝑂

𝐶

OC, do đó

𝑀

M nằm trên đoạn

𝑂

𝐶

⊂

𝐶

𝐷

OC⊂CD.

𝐼

I là trung điểm

𝑀

𝐶

MC.

Đường thẳng qua

𝐼

I vuông góc với

𝐶

𝐷

CD cắt đường tròn

(

𝑂

)

(O) tại

𝐸

,

𝐹

E,F.

Ta cần chứng minh

𝑃

,

𝑀

,

𝐹

P,M,F thẳng hàng, trong đó

𝑃

P là giao điểm thứ hai của đường thẳng

𝐸

𝐷

ED với

(

𝑂

′

)

(O

′

).

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất về góc nội tiếp, định lý Menelaus hoặc Ceva, hoặc các phép biến đổi hình học.

Sử dụng các phép dựng hình và các quan hệ vuông góc, trung điểm để thiết lập tỷ lệ đoạn thẳng.

Bạn muốn mình giúp chứng minh chi tiết từng bước không?

b) Chứng minh

𝐼

𝑃

IP là tiếp tuyến của đường tròn

(

𝑂

;

𝑅

)

(O;R).

Phương pháp:

Chứng minh

𝐼

𝑃

IP vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.

Hoặc dùng hệ thức về tiếp tuyến và dây cung, chứng minh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng

𝐼

𝑃

IP bằng bán kính.

c) Tìm vị trí của

𝑀

M trên đoạn

𝑂

𝐶

OC sao cho diện tích tam giác

𝐼

𝑃

𝑂

IPO lớn nhất.

Phương pháp:

Biểu diễn tọa độ các điểm

𝐼

,

𝑃

,

𝑂

I,P,O theo tham số vị trí của

𝑀

M trên

𝑂

𝐶

OC.

Viết biểu thức diện tích tam giác

𝐼

𝑃

𝑂

IPO theo tham số đó.

Tìm giá trị cực đại bằng cách lấy đạo hàm, tìm điểm cực trị.

a có biểu thức \(P\) với các biến dương và điều kiện tổng cố định.

Bước 1: Biểu thức \(x \left(\right. y + z \left.\right)\) có thể viết lại

Vì \(x + y + z = 18\), nên:

\(y + z = 18 - x ,\)

tương tự:

\(z + x = 18 - y , x + y = 18 - z .\)

Vậy:

\(P = \frac{1}{x \left(\right. 18 - x \left.\right)} + \frac{1}{y \left(\right. 18 - y \left.\right)} + \frac{1}{z \left(\right. 18 - z \left.\right)} .\)

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz

Ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số dương:

\(\left(\right. \sum \frac{1}{x \left(\right. y + z \left.\right)} \left.\right) \left(\right. \sum x \left(\right. y + z \left.\right) \left.\right) \geq \left(\right. 1 + 1 + 1 \left.\right)^{2} = 9.\)

Nhưng ta cần tính \(\sum x \left(\right. y + z \left.\right)\):

\(\sum x \left(\right. y + z \left.\right) = x \left(\right. y + z \left.\right) + y \left(\right. z + x \left.\right) + z \left(\right. x + y \left.\right) .\)

Mở rộng:

\(= x \left(\right. y + z \left.\right) + y \left(\right. z + x \left.\right) + z \left(\right. x + y \left.\right) = x y + x z + y z + y x + z x + z y = 2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) .\)

Do đó:

\(\sum x \left(\right. y + z \left.\right) = 2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) .\)

Bước 3: Vậy:

\(P \geq \frac{9}{\sum x \left(\right. y + z \left.\right)} = \frac{9}{2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)} .\)

Bước 4: Tìm mối liên hệ giữa \(x y + y z + z x\) và \(x + y + z\)

Vì \(x , y , z > 0\) và \(x + y + z = 18\), ta áp dụng bất đẳng thức cơ bản:

\(\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} \geq 3 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) .\)

Suy ra:

\(x y + y z + z x \leq \frac{\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2}}{3} = \frac{18^{2}}{3} = \frac{324}{3} = 108.\)

Bước 5: Áp dụng vào biểu thức \(P\):

\(P \geq \frac{9}{2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)} \geq \frac{9}{2 \times 108} = \frac{9}{216} = \frac{1}{24} .\)

Nhưng đề bài yêu cầu chứng minh \(P \geq \frac{1}{4}\), trong khi ta có được \(P \geq \frac{1}{24}\) theo cách này — chưa đủ mạnh.

Bước 6: Thử cách khác bằng việc đưa về một biến

Do đối xứng, giả sử \(x = y = z = 6\). Thử tính \(P\):

\(P = 3 \times \frac{1}{6 \times \left(\right. 6 + 6 \left.\right)} = 3 \times \frac{1}{6 \times 12} = 3 \times \frac{1}{72} = \frac{3}{72} = \frac{1}{24} ,\)

giá trị này nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\).

Nhận xét:

Điều này cho thấy đề bài có thể bị sai hoặc thiếu điều kiện vì với \(x = y = z = 6\), \(P = \frac{1}{24}\) chứ không phải \(\geq \frac{1}{4}\).

1=1

so sánh và ẩn dụ.

Bài toán thuộc dạng tổ hợp hình học với điều kiện về tọa độ nguyên, khá kinh điển và thú vị. Ta sẽ đi chứng minh rằng:

Trong số các trung điểm tạo bởi 2 trong số 9 điểm có tọa độ nguyên, luôn tồn tại ít nhất một trung điểm cũng có tọa độ nguyên.

🚩 Phân tích & định hướng:

• Tọa độ nguyên nghĩa là các điểm có dạng \(\left(\right. x , y , z \left.\right)\) với \(x , y , z \in \mathbb{Z}\).
• Trung điểm của hai điểm \(\left(\right. x_{1} , y_{1} , z_{1} \left.\right)\) và \(\left(\right. x_{2} , y_{2} , z_{2} \left.\right)\) là:
  \(\left(\right. \frac{x_{1} + x_{2}}{2} , \frac{y_{1} + y_{2}}{2} , \frac{z_{1} + z_{2}}{2} \left.\right)\)
  → Trung điểm có tọa độ nguyên nếu tổng của từng cặp tọa độ đều là số chẵn.

✅ Cách làm: Xét theo parity (chẵn/lẻ)

Bước 1: Có bao nhiêu "kiểu chẵn/lẻ" cho một điểm?

Vì mỗi tọa độ có thể chẵn (0) hoặc lẻ (1) nên mỗi điểm có 3 tọa độ → có:

\(2 \times 2 \times 2 = 8 \&\text{nbsp};\text{ki}ể\text{u}\&\text{nbsp};\text{ch} \overset{\sim}{\overset{ }{\text{a}}} \text{n}/\text{l}ẻ\&\text{nbsp};\text{kh} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{nhau}\)

(Mỗi kiểu được biểu diễn bởi bộ ba bit: \(\left(\right. x \textrm{ } \textrm{ } 2 , y \textrm{ } \textrm{ } 2 , z \textrm{ } \textrm{ } 2 \left.\right)\))

Bước 2: Có 9 điểm → dùng Nguyên lý Dirichlet (Pigeonhole Principle)

• Có 8 kiểu chẵn/lẻ.
• Nhưng ta có 9 điểm.
  → Chắc chắn tồn tại ít nhất một cặp điểm có cùng kiểu chẵn/lẻ.

Bước 3: Với hai điểm cùng kiểu chẵn/lẻ → Trung điểm có tọa độ nguyên

Ví dụ:

• A = \(\left(\right. x_{1} , y_{1} , z_{1} \left.\right)\), B = \(\left(\right. x_{2} , y_{2} , z_{2} \left.\right)\)
• Giả sử cả hai điểm đều có cùng chẵn/lẻ tại mỗi tọa độ → thì \(x_{1} + x_{2}\), \(y_{1} + y_{2}\), \(z_{1} + z_{2}\) đều là số chẵn
  → Trung điểm có tọa độ nguyên.

✅ Kết luận:

Với 9 điểm bất kỳ có tọa độ nguyên trong không gian \(O x y z\), luôn tồn tại ít nhất một cặp điểm có cùng kiểu chẵn/lẻ tại từng tọa độ → trung điểm của chúng có tọa độ nguyên.