a: 

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = 2 x - 3 m\)

=>\(x^{2} - 2 x + 3 m = 0\)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 m = - 12 m + 4\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>-12m+4>0

=>-12m>-4

=>\(m < \frac{1}{3}\)

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2,x_1x_2=\frac{c}{a}=3m}\)

\(x_{1} \cdot x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. 3 m + 2 x_{1} \left.\right) = 12\)

=>\(x_{1} \cdot x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. x_{1} x_{2} + 2 x_{1} \left.\right) = 12\)

=>\(x_{1} \cdot x_{2}^{2} - x_{1} \cdot x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 12\)

=>-2*3m=12

=>-6m=12

=>m=-2(nhận)

a: 

b: Khi m=2 thì (d): y=2x+3

Phương trình hoành độ giao điểm là;

\(x^{2} = 2 x + 3\)

=>\(x^{2} - 2 x - 3 = 0\)

=>(x-3)(x+1)=0

=>\(\left[\right. x - 3 = 0 \\ x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = 3 \\ x = - 1\)

Khi x=3 thì \(y = 3^{2} = 9\)

Khi x=-1 thì \(y = \left(\left(\right. - 1 \left.\right)\right)^{2} = 1\)

Vậy: (P) cắt (d) tại A(3;9); B(-1;1)

c: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = m x + 3\)

=>\(x^{2} - m x - 3 = 0\)

a=1; b=-m; c=-3

Vì \(a \cdot c = 1 \cdot \left(\right. - 3 \left.\right) = - 3 < 0\)

nên (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt trái dấu

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m,x_1x_2=\frac{c}{a}=-3}\)

\(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{3}{2}\)

=>\(\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{3}{2}\)

=>\(\frac{m}{- 3} = \frac{3}{2}\)

=>\(m = - \frac{9}{2}\)

a) Vẽ Parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) 

Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 2 ; 8 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(B \left(\right. - 1 ; 2 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(O \left(\right. 0 ; 0 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(C \left(\right. 1 ; 2 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(D \left(\right. 2 ; 8 \&\text{nbsp}; \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 2 x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = 2 x^{2}\).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. d \left.\right)\) và \(\left(\right. P \left.\right)\) là:

\(2 x^{2} = - 2 x + m\)

\(2 x^{2} + 2 x - m = 0\) (1)

Ta có \(\Delta^{'} = 1^{2} - 2 \left(\right. - m \left.\right) = 1 + 2 m\).

Để \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt khi

\(\Delta^{'} > 0\)

\(1 + 2 m > 0\)

\(m > \frac{- 1}{2}\)

Với \(m > \frac{- 1}{2}\) thì \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_{1} ; x_{2}\).

Theo hệ thức Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = - 1 ; x_{1} x_{2} = \frac{- m}{2}\)

Theo đề bài ta có: \(x_{1} + x_{2} - 2 x_{1} x_{2} = 1\)

\(- 1 - 2 \frac{- m}{2} = 1\)

\(- 1 + m = 1\)

\(m = 2\).

Vậy \(m = 2\) thì \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_{1} ; x_{2}\) thỏa mãn yêu cầu.

a) Vẽ parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) là đồ thị của hàm số \(y = x^{2}\)

- Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

- Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 2 ; 4 \left.\right) , B \left(\right. - 1 ; 1 \left.\right) , O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) , C \left(\right. 1 ; 1 \left.\right) , D \left(\right. 2 ; 4 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = x^{2}\).

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm \(x^{2} = - x - m + 1\)

\(x^{2} + x + m - 1 = 0\) (1) 

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0\)

\(1^{2} - 4 \left(\right. m - 1 \left.\right) > 0\)

\(m < \frac{5}{4}\)

Khi đó áp dụng hệ thức Viète: \(x_{1} + x_{2} = - 1 ; \&\text{nbsp}; x_{1} x_{2} = m - 1\).

Khi đó ta có: \(\mid x_{1} - x_{2} \mid = 2\)

\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)^{2} = 4\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 4\)

\(1 - 4 \left(\right. m - 1 \left.\right) = 4\)

\(m = \frac{1}{4}\) (tm)

Vậy \(m = \frac{1}{4}\) là giá trị cần tìm.

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = 2 x + m^{2}\)

=>\(x^{2} - 2 x - m^{2} = 0\)(1)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - m^{2} \left.\right) = 4 m^{2} + 4 > = 4 > 0 \forall m\)

=>Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

b: Theo Vi-et, ta có:

\({.x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2x_1x_2=\frac{c}{a}=-m^2}\)

\(\left(\right. x_{1} + 1 \left.\right) \left(\right. x_{2} + 1 \left.\right) = - 3\)

=>\(x_{1} x_{2} + \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 1 = - 3\)

=>\(- m^{2} + 2 + 1 = - 3\)

=>\(- m^{2} = - 6\)

=>\(m^{2} = 6\)

=>\(\left[\right. m = \sqrt{6} \\ m = - \sqrt{6}\)

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = 2 x + m^{2}\)

=>\(x^{2} - 2 x - m^{2} = 0\)(1)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - m^{2} \left.\right) = 4 m^{2} + 4 > = 4 > 0 \forall m\)

=>Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

b: Theo Vi-et, ta có:

\({.x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2x_1x_2=\frac{c}{a}=-m^2}\)

\(\left(\right. x_{1} + 1 \left.\right) \left(\right. x_{2} + 1 \left.\right) = - 3\)

=>\(x_{1} x_{2} + \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 1 = - 3\)

=>\(- m^{2} + 2 + 1 = - 3\)

=>\(- m^{2} = - 6\)

=>\(m^{2} = 6\)

=>\(\left[\right. m = \sqrt{6} \\ m = - \sqrt{6}\)