Δ=(−m)2−4(m2−m−3)

\(= m^{2} - 4 m^{2} + 4 m + 12 = - 3 m^{2} + 4 m + 12\)

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>\(- 3 m^{2} + 4 m + 12 > = 0\)

=>\(3 m^{2} - 4 m - 12 < = 0\)

=>\(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{3} < = m < = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{3}\)

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m=x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2-m-3}\)

\(x_{1} ; x_{2}\) là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông ABC có độ dài cạnh huyền là 2 nên ta có:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 2^{2}\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 2^{2}\)

=>\(m^{2} - 2 \left(\right. m^{2} - m - 3 \left.\right) = 4\)

=>\(m^{2} - 2 m^{2} + 2 m + 6 = 4\)

=>\(- m^{2} + 2 m + 2 = 0\)

=>\(m^{2} - 2 m - 2 = 0\)

=>\(m^{2} - 2 m + 1 - 3 = 0\)

=>\(\left(\left(\right. m - 1 \left.\right)\right)^{2} - 3 = 0\)

=>\(\left[\right.m-1=\sqrt{3}\\m-1=-\sqrt{3}\Leftrightarrow\left[\right.m=\sqrt{3}+\frac{1\left(\right.t}{m}\left.\right)\\m=-\sqrt{3}+\frac{1\left(\right.t}{m}\left.\right)\)

Δ=(−2)2−4⋅1⋅(m−1)=4−4m+4=−4m+8

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>\(- 4 m + 8 > = 0\)

=>-4m>=-8

=>m<=2

Theo vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2=x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1}\)

\(x_{1}^{4} - x_{1}^{3} = x_{2}^{4} - x_{2}^{3}\)

=>\(x_{1}^{4} - x_{2}^{4} = x_{1}^{3} - x_{2}^{3}\)

=>\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) = \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} \left.\right)\)

=>\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \cdot 2 \cdot \left[\right. \left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} \left]\right. = \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \cdot \left[\right. \left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - x_{1} x_{2} \left]\right.\)

=>\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) 2 \cdot \left[\right. 2^{2} - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) \left]\right. = \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. 2^{2} - \left(\right. m - 1 \left.\right) \left.\right)\)

=>\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \cdot 2 \cdot \left(\right. 4 - 2 m + 2 \left.\right) = \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \cdot \left(\right. 4 - m + 1 \left.\right)\)

=>\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. 12 - 4 m \left.\right) - \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. 5 - m \left.\right) = 0\)

=>\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. 12 - 4 m - 5 + m \left.\right) = 0\)

=>\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. - 3 m + 7 \left.\right) = 0\)

=>\(\left[\right. x_{1} - x_{2} = 0 \\ - 3 m + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x_{1} = x_{2} \\ m = \frac{7}{3} \left(\right. l o ạ i \left.\right)\)

Nếu \(x_{1} = x_{2}\) thì \(x_{1} = x_{2} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

\(x_{1} x_{2} = m - 1\)

=>m-1=1

=>m=2(nhận)

Ta có: \(\Delta = \left(\left(\right. - 2 m \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. 4 m - 4 \left.\right)\)

\(= 4 m^{2} - 16 m + 16 = \left(\left(\right. 2 m - 4 \left.\right)\right)^{2} > = 0 \forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m=x_1x_2=\frac{c}{a}=4m-4}\)

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 8 = 0\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 8 = 0\)

=>\(\left(\left(\right. 2 m \left.\right)\right)^{2} - 2 \left(\right. 4 m - 4 \left.\right) - 8 = 0\)

=>\(4 m^{2} - 8 m = 0\)

=>4m(m-2)=0

=>\(\left[\right. m = 0 \\ m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. m = 0 \\ m = 2\)

Δ=[−2(m+1)]2−4⋅1(m2+2m)

\(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 \left.\right) - 4 \left(\right. m^{2} + 2 m \left.\right) = 4 > 0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left[\right. x = \frac{\left(\right. 2 m + 2 \left.\right) - \sqrt{4}}{2} = \frac{2 m + 2 - 2}{2} = m \\ x = \frac{2 m + 2 + 2}{2} = \frac{2 m + 4}{2} = m + 2\)

Vì m<m+2 nên \(x_{1} = m ; x_{2} = m + 2\)

\(\mid x_{1} \mid = 3 \mid x_{2} \mid\)

=>\(\mid m \mid = 3 \mid m + 2 \mid = \mid 3 m + 6 \mid\)

=>\(\left[\right. 3 m + 6 = m \\ 3 m + 6 = - m \Leftrightarrow \left[\right. 2 m = - 6 \\ 4 m = - 6 \Leftrightarrow \left[\right. m = - 3 \\ m = - \frac{3}{2}\)

Δ=(−m)2−4(m−2)

\(= m^{2} - 4 m + 8 = \left(\left(\right. m - 2 \left.\right)\right)^{2} + 4 > = 4 > 0 \forall m\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m=x_1x_2=\frac{c}{a}=m-2}\)

\(x_{1} - x_{2} = 2 \sqrt{5}\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)\right)^{2} = \left(\left(\right. 2 \sqrt{5} \left.\right)\right)^{2} = 20\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 20\)

=>\(m^{2} - 4 \left(\right. m - 2 \left.\right) = 20\)

=>\(m^{2} - 4 m - 12 = 0\)

=>(m-6)(m+2)=0

=>\(\left[\right. m - 6 = 0 \\ m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. m = 6 \\ m = - 2\)

Δ=(−2)2−4(m−1)=4−4m+4=−4m+8

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>=0

=>-4m+8>=0

=>-4m>=-8

=>m<=2

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2,x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1}\)

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} - 14 = 0\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2} + \left(\left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 14 = 0\)

=>\(2^{2} - 3 \left(\right. m - 1 \left.\right) + \left(\left(\right. m - 1 \left.\right)\right)^{2} - 14 = 0\)

=>\(4 - 3 m + 3 + m^{2} - 2 m + 1 - 14 = 0\)

=>\(m^{2} - 5 m - 6 = 0\)

=>(m-6)(m+1)=0

=>\(\left[\right. m = 6 \left(\right. l o ạ i \left.\right) \\ m = - 1 \left(\right. n h ậ n \left.\right)\)

Δ=(−4)2−4(m−1)

=16-4m+4

=-4m+20

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>-4m+20>=0

=>-4m>=-20

=>m<=5

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4,x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1}\)

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 14\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 14\)

=>\(4^{2} - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) = 14\)

=>2(m-1)=16-14=2

=>m-1=1

=>m=2(nhận)

Δ=42−4.2.m=16−8m

Phương trình có hai nghiệm khi \(\Delta \geq 0\)

\(16 - 8 m \geq 0\)

\(8 m \leq 16\)

\(m \leq 2\)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

\({x_1+x_2=\frac{- 4}{2.2}=-1,x_1x_2=\frac{m}{2}}\)

Ta có:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 10\)

\(\left(\left(\right. - 1 \left.\right)\right)^{2} - 2. \frac{m}{2} = 10\)

\(1 - m = 10\)

\(m = 1 - 10\)

\(m = - 9\) (nhận)

Vậy \(m = - 9\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn: \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10\)

a) Vẽ đồ thị \(\left(\right. P \left.\right)\).

Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 2 ; 8 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(B \left(\right. - 1 ; 2 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(O \left(\right. 0 ; 0 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(C \left(\right. 1 ; 2 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(D \left(\right. 2 ; 8 \&\text{nbsp}; \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 2 x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = 2 x^{2}\).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là

\(2 x^{2} = 2 m x + 1\)

\(2 x^{2} - 2 m x - 1 = 0\) (1)

\(\Delta^{'} = \left(\right. - m \left.\right)^{2} - 2. \left(\right. - 1 \left.\right) = m^{2} + 2 > 0\) với mọi giá trị của \(m\)

Nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).

Suy ra \(\left(\right. d \left.\right)\) luôn cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).

Theo định lí Viète ta có: \({\&x_1+x_2=m\left(\right.2\left.\right)\&x_1x_2=-\frac{1}{2}\left(\right.3\left.\right)}\)

Ta có \(x_{1} < x_{2}\) mà \(x_{1} x_{2} = \frac{- 1}{2} < 0\) suy ra \(x_{1} < 0 < x_{2}\).

Khi đó \(\mid x_{2} \mid - \mid x_{1} \mid = 2 025\)

\(x_{2} - \left(\right. - x_{1} \left.\right) = 2 025\)

\(x_{2} + x_{1} = 2 025\)

\(m = 2 025\).

a: 

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\frac{1}{2} x^{2} = x + \frac{1}{2} m^{2} + m + 1\)

=>\(x^{2} = 2 x + m^{2} + 2 m + 2\)

=>\(x^{2} - 2 x - \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) = 0\)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left[\right. - \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) \left]\right.\)

\(= 4 + 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 3 \left.\right) = 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 + 2 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} + 8 > = 8 > 0 \forall m\)

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2,x_1x_2=\frac{c}{a}=-\left(\right.m^2+2m+2\left.\right)}\)

\(x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 68\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{3} - 3 x_{1} x_{2} \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = 68\)

=>\(2^{3} - 3 \cdot 2 \cdot \left[\right. - \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) \left]\right. = 68\)

=>\(6 \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) = 60\)

=>\(m^{2} + 2 m + 2 = 10\)

=>\(m^{2} + 2 m - 8 = 0\)

=>(m+4)(m-2)=0

=>\(\left[\right. m = - 4 \\ m = 2\)