b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\frac{1}{2} x^{2} = x + \frac{1}{2} m^{2} + m + 1\)

=>\(x^{2} = 2 x + m^{2} + 2 m + 2\)

=>\(x^{2} - 2 x - \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) = 0\)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left[\right. - \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) \left]\right.\)

\(= 4 + 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 3 \left.\right) = 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 + 2 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} + 8 > = 8 > 0 \forall m\)

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2,x_1x_2=\frac{c}{a}=-\left(\right.m^2+2m+2\left.\right)}\)

\(x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 68\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{3} - 3 x_{1} x_{2} \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = 68\)

=>\(2^{3} - 3 \cdot 2 \cdot \left[\right. - \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) \left]\right. = 68\)

=>\(6 \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) = 60\)

=>\(m^{2} + 2 m + 2 = 10\)

=>\(m^{2} + 2 m - 8 = 0\)

=>(m+4)(m-2)=0

=>\(\left[\right. m = - 4 \\ m = 2\)

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = 2 x - 3 m\)

=>\(x^{2} - 2 x + 3 m = 0\)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 m = - 12 m + 4\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>-12m+4>0

=>-12m>-4

=>\(m < \frac{1}{3}\)

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2,x_1x_2=\frac{c}{a}=3m}\)

\(x_{1} \cdot x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. 3 m + 2 x_{1} \left.\right) = 12\)

=>\(x_{1} \cdot x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. x_{1} x_{2} + 2 x_{1} \left.\right) = 12\)

=>\(x_{1} \cdot x_{2}^{2} - x_{1} \cdot x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 12\)

=>-2*3m=12

=>-6m=12

=>m=-2

b: Khi m=2 thì (d): y=2x+3

Phương trình hoành độ giao điểm là;

\(x^{2} = 2 x + 3\)

=>\(x^{2} - 2 x - 3 = 0\)

=>(x-3)(x+1)=0

=>\(\left[\right. x - 3 = 0 \\ x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = 3 \\ x = - 1\)

Khi x=3 thì \(y = 3^{2} = 9\)

Khi x=-1 thì \(y = \left(\left(\right. - 1 \left.\right)\right)^{2} = 1\)

Vậy: (P) cắt (d) tại A(3;9); B(-1;1)

c: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = m x + 3\)

=>\(x^{2} - m x - 3 = 0\)

a=1; b=-m; c=-3

Vì \(a \cdot c = 1 \cdot \left(\right. - 3 \left.\right) = - 3 < 0\)

nên (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt trái dấu

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m,x_1x_2=\frac{c}{a}=-3}\)

\(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{3}{2}\)

=>\(\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{3}{2}\)

=>\(\frac{m}{- 3} = \frac{3}{2}\)

=>\(m = - \frac{9}{2}\)

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(2 x^{2} = - 2 x + m\)

=>\(2 x^{2} + 2 x - m = 0\)

\(\Delta\&\text{nbsp}; = 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot \left(\right. - m \left.\right) = 8 m + 4\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>8m+4>0

=>8m>-4

=>\(m > - \frac{1}{2}\)

Theo Vi-et, ta được:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{2}=-1,x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{m}{2}}\)

\(x_{1} + x_{2} - 2 x_{2} x_{1} = 1\)

=>\(- 1 - 2 \cdot \frac{- m}{2} = 1\)

=>-1+m=1

=>m=2

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = - x - m + 1\)

=>\(x^{2} + x + m - 1 = 0\)

\(\Delta = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. m - 1 \left.\right) = 1 - 4 m + 4 = - 4 m + 5\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>-4m+5>0

=>-4m>-5

=>\(m < \frac{5}{4}\)

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-1,x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1}\)

\(\mid x_{1} - x_{2} \mid = 2\)

=>\(\sqrt{\left(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)\right)^{2}} = 2\)

=>\(\sqrt{\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 4 x_{1} x_{2}} = 2\)

=>\(\sqrt{\left(\left(\right. - 1 \left.\right)\right)^{2} - 4 \left(\right. m - 1 \left.\right)} = 2\)

=>1-4(m-1)=4

=>4(m-1)=-3

=>4m-4=-3

=>4m=1

=>\(m=\frac{1}{4}\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = 2 x + m^{2}\)

=>\(x^{2} - 2 x - m^{2} = 0\)(1)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - m^{2} \left.\right) = 4 m^{2} + 4 > = 4 > 0 \forall m\)

=>Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\)

\(\left(\right. x_{1} + 1 \left.\right) \left(\right. x_{2} + 1 \left.\right) = - 3\)

=>\(x_{1} x_{2} + \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 1 = - 3\)

=>\(- m^{2} + 2 + 1 = - 3\)

=>\(- m^{2} = - 6\)

=>\(m^{2} = 6\)

=>\(\left[\right. m = \sqrt{6} \\ m = - \sqrt{6}\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = 2 x + m^{2}\)

=>\(x^{2} - 2 x - m^{2} = 0\)(1)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - m^{2} \left.\right) = 4 m^{2} + 4 > = 4 > 0 \forall m\)

=>Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\)

\(\left(\right. x_{1} + 1 \left.\right) \left(\right. x_{2} + 1 \left.\right) = - 3\)

=>\(x_{1} x_{2} + \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 1 = - 3\)

=>\(- m^{2} + 2 + 1 = - 3\)

=>\(- m^{2} = - 6\)

=>\(m^{2} = 6\)

=>\(\left[\right. m = \sqrt{6} \\ m = - \sqrt{6}\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = 2 x + m^{2}\)

=>\(x^{2} - 2 x - m^{2} = 0\)(1)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - m^{2} \left.\right) = 4 m^{2} + 4 > = 4 > 0 \forall m\)

=>Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\)

\(\left(\right. x_{1} + 1 \left.\right) \left(\right. x_{2} + 1 \left.\right) = - 3\)

=>\(x_{1} x_{2} + \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 1 = - 3\)

=>\(- m^{2} + 2 + 1 = - 3\)

=>\(- m^{2} = - 6\)

=>\(m^{2} = 6\)

=>\(\left[\right. m = \sqrt{6} \\ m = - \sqrt{6}\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = 2 x + m^{2}\)

=>\(x^{2} - 2 x - m^{2} = 0\)(1)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - m^{2} \left.\right) = 4 m^{2} + 4 > = 4 > 0 \forall m\)

=>Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\)

\(\left(\right. x_{1} + 1 \left.\right) \left(\right. x_{2} + 1 \left.\right) = - 3\)

=>\(x_{1} x_{2} + \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 1 = - 3\)

=>\(- m^{2} + 2 + 1 = - 3\)

=>\(- m^{2} = - 6\)

=>\(m^{2} = 6\)

=>\(\left[\right. m = \sqrt{6} \\ m = - \sqrt{6}\)

Thay x=0 và y=-5 vào (d), ta được:

\(2 \left(\right. m - 1 \left.\right) \cdot 0 + 2 m + 3 = - 5\)

=>2m+3=-5

=>2m=-8

=>m=-4

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) x + 2 m + 3\)

=>\(x^{2} - \left(\right. 2 m - 2 \left.\right) x - \left(\right. 2 m + 3 \left.\right) = 0\)

\(\Delta = \left(\left[\right. - \left(\right. 2 m - 2 \left.\right) \left]\right.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left[\right. - \left(\right. 2 m + 3 \left.\right) \left]\right.\)

\(= \left(\left(\right. 2 m - 2 \left.\right)\right)^{2} + 4 \left(\right. 2 m + 3 \left.\right)\)

\(= 4 m^{2} - 8 m + 4 + 8 m + 12 = 4 m^{2} + 16 > = 16 > 0 \forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\)

\(x_{A}^{2} + x_{B}^{2} = 10\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 10\)

=>\(\left(\left(\right. 2 m - 2 \left.\right)\right)^{2} - 2 \cdot \left(\right. - 2 m - 3 \left.\right) = 10\)

=>\(4 m^{2} - 8 m + 4 + 4 m + 6 = 10\)

=>\(4 m^{2} - 4 m = 0\)

=>4m(m-1)=0

=>m(m-1)=0

=>\(\left[\right. m = 0 \\ m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. m = 0 \\ m = 1\)