Cho đường tròn tâm \(\left(\right. O \left.\right)\), đường kính \(A B\) và một dây \(A C\) bằng bán kính đường tròn. Tính các góc của \(\Delta A B C\). 

Cho hai đường tròn cùng tâm \(\left(\right. O ; R \left.\right)\), \(\left(\right. O ; r \left.\right)\) với \(R > r\). Các điểm \(A\), \(B\) thuộc đường tròn \(\left(\right. O ; R \left.\right)\), các điểm \(A^{'}\), \(B^{'}\) thuộc đường tròn \(\left(\right. O ; r \left.\right)\) sao cho \(O\), \(A\), \(A^{'}\) thẳng hàng; \(O , B , B^{'}\) thẳng hàng và điểm \(O\) không thuộc đường thẳng \(A B\). Chứng minh:

) \(\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{O B^{'}}{O B}\).

) \(A B\) // \(A^{'} B^{'}\). 

Cho hình chữ nhật \(A B C D\) có \(A D = 18\) cm và \(C D = 12\) cm. Chứng minh rằng bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Cho hai đường tròn \(\left(\right. A ; 6\) cm\(\left.\right)\) và \(\left(\right. B ; 4\) cm\(\left.\right)\) cắt nhau tại \(C\) và \(D\), \(A B = 8\) cm. Gọi \(I\), \(K\) lần lượt là giao điểm của hai đường tròn đã cho với đoạn thẳng \(A B\).

Tính độ dài của các đoạn thẳng \(C A\), \(C B\), \(D A\) và \(D B\).

Điểm \(I\) có phải là trung điểm của đoạn thẳng \(A B\) không?

cTính độ dài của đoạn thẳng \(I K\).

Cho điểm \(M\) nằm trên đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) đường kính \(A B\). Sử dụng tính đối xứng của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), nêu cách tìm:

Điểm \(N\) đối xứng với điểm \(M\) qua tâm \(O\).

) Điểm \(P\) đối xứng với điểm \(M\) qua đường thẳng \(A B\).

Bài 3:

Cho tam giác \(A B C\), cạnh \(B C\) cố định, và \(A B = 4 \textrm{ } \text{cm}\).

a) Điểm \(A\) di động trên đường nào?

• Vì \(B C\) là cố định và \(A B = 4 \textrm{ } \text{cm}\) không đổi, nên điểm \(A\) sẽ nằm cách điểm \(B\) một khoảng 4 cm.
• Do đó, điểm \(A\) di động trên đường tròn tâm \(B\), bán kính \(4 \textrm{ } \text{cm}\).

b) Trung điểm \(M\) của \(A C\) di động trên đường nào?

• Khi \(A\) di động trên đường tròn tâm \(B\), bán kính 4 cm và \(C\) là điểm cố định (vì cạnh \(B C\) cố định), thì đoạn \(A C\) thay đổi.
• Khi đó, trung điểm \(M\) của đoạn \(A C\) sẽ di chuyển theo một đường cong, nhưng có thể xác định chính xác hơn là:

Điểm \(M\) (trung điểm của \(A C\)) sẽ di động trên một đường tròn, vì nó là ảnh của điểm \(A\) qua phép co dời (lấy trung điểm giữa \(A\) và điểm cố định \(C\)).

a) Điểm \(A\) di động trên đường tròn tâm \(B\), bán kính \(4 \textrm{ } \text{cm}\).

b) Trung điểm \(M\) của đoạn \(A C\) di động trên một đường tròn có tâm nằm trên đoạn nối trung điểm của các đoạn thẳng từ tâm \(B\) đến \(C\).

Nếu bạn muốn, mình có thể vẽ hình minh họa để trực quan hơn.

a) Đường thẳng \(O M\) có phải là đường trung trực của đoạn thẳng \(A B\) hay không? Vì sao?

Giải thích:

• Trong một đường tròn, đường nối từ tâm \(O\) đến trung điểm \(M\) của dây \(A B\) chính là đường trung trực của dây đó nếu \(A B\) không đi qua tâm.
• Bởi vì trong một đường tròn, tâm của đường tròn nằm trên đường trung trực của mọi dây không đi qua tâm.
• vậy
  Có, đường thẳng \(O M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(A B\) vì nó nối từ tâm \(O\) đến trung điểm của dây \(A B\) (mà \(A B\) không phải là đường kính).

b) Tính khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(A B\), biết:

• \(R = 5 \textrm{ } \text{cm}\)
• \(A B = 8 \textrm{ } \text{cm}\)

Trong tam giác vuông \(O M A\), ta có:

• \(O A = R = 5 \textrm{ } \text{cm}\)
• \(A M = \frac{A B}{2} = \frac{8}{2} = 4 \textrm{ } \text{cm}\)
• \(O M\): là đoạn vuông góc từ tâm đến dây \(A B\), cũng chính là khoảng cách cần tìm

Áp dụng định lý Pythagoras:

\(O M = \sqrt{O A^{2} - A M^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \textrm{ } \text{cm}\)

Khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(A B\) là \(\boxed{3 \textrm{ } \text{cm}}\)

Cho hai đường tròn:

• Đường tròn tâm \(O\), bán kính \(2 \textrm{ } \text{cm}\): gọi là đường tròn \(\left(\right. O ; 2 \textrm{ } \text{cm} \left.\right)\)
• Đường tròn tâm \(A\), bán kính \(2 \textrm{ } \text{cm}\): gọi là đường tròn \(\left(\right. A ; 2 \textrm{ } \text{cm} \left.\right)\)

Hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm \(C\) và \(D\).
Biết thêm: điểm \(A\) nằm trên đường tròn tâm \(O\).

a) Vẽ đường tròn \(\left(\right. C ; 2 \textrm{ } \text{cm} \left.\right)\)

Câu này yêu cầu vẽ đường tròn tâm \(C\), bán kính \(2 \textrm{ } \text{cm}\). Ta chỉ cần xác định điểm \(C\) và vẽ đường tròn bán kính 2 cm là xong.

b) Đường tròn \(\left(\right. C ; 2 \textrm{ } \text{cm} \left.\right)\) có đi qua hai điểm \(O\) và \(A\) hay không? Vì sao?

Phân tích:

• Vì \(A\) nằm trên đường tròn tâm \(O\) bán kính 2 cm, nên \(O A = 2 \textrm{ } \text{cm}\)
• Đường tròn \(\left(\right. O ; 2 \left.\right)\) và \(\left(\right. A ; 2 \left.\right)\) cắt nhau tại \(C\) và \(D\) → Tức là khoảng cách \(O A = 2 \textrm{ } \text{cm}\) nhỏ hơn \(R_{1} + R_{2} = 4 \textrm{ } \text{cm}\) và lớn hơn \(\mid R_{1} - R_{2} \mid = 0\), nên đúng là cắt nhau tại hai điểm.

Xét tam giác \(\triangle O A C\), ta có:

• \(O C = 2 \textrm{ } \text{cm}\) (vì \(C\) thuộc đường tròn tâm \(O\))
• \(A C = 2 \textrm{ } \text{cm}\) (vì \(C\) cũng thuộc đường tròn tâm \(A\))
  → Tam giác \(O A C\) cân tại \(C\), với \(O C = A C = 2 \textrm{ } \text{cm}\)

Suy ra: điểm \(O\) và \(A\) cách đều điểm \(C\) một khoảng \(2 \textrm{ } \text{cm}\)

Kết luận: Đường tròn tâm \(C\), bán kính \(2 \textrm{ } \text{cm}\) đi qua cả hai điểm \(O\) và A

Có, đường tròn \(\left(\right. C ; 2 \textrm{ } \text{cm} \left.\right)\) đi qua cả hai điểm \(O\) và \(A\) vì \(O C = A C = 2 \textrm{ } \text{cm}\)

Ta có x2−4x+9=(x−2)2+5⩾5x2−4x+9=(x−2)2+5⩾5.

Suy ra B=1x2−4x+9=1(x−2)2+5⩽15B=x2−4x+91​=(x−2)2+51​⩽51​.

Dấu bằng xảy ra khi $x=2$.

a) Xét $\Delta KNM$ và $\Delta MNP$ có:

     MKN^=NMP^=90∘MKN=NMP=90∘;

     N^N chung;

Suy ra $\Delta KNM\backsim \Delta MNP$ (g.g) (1)

Xét $\Delta KMP$ và $\Delta MNP$ có:

     MKP^=NMP^=90∘MKP=NMP=90∘

    P^P là góc chung

Do đó $\Delta KMP\backsim \Delta MNP$ (g.g) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta KNM\backsim \Delta KMP$.

b) Theo câu a $\Delta KNM\backsim \Delta KMP$.

Từ đây ta có tỉ lệ thức: MKKP=NKMKKPMK​=MKNK​

Nên $MK.MK=NK.KP$ hay MK2=NK.KPMK2=NK.KP

c) Từ câu b, ta tính được $MK=6$ cm.

Nên SMNP=12MK.NP=12.6.(4+9)=39SMNP​=21​MK.NP=21​.6.(4+9)=39 cm22.