Bước 1: Biến đổi mẫu số

Ta có:

x2−4x+9x^2 - 4x + 9x2−4x+9

Hoàn chỉnh bình phương:

x2−4x+9=(x−2)2+5x^2 - 4x + 9 = (x - 2)^2 + 5x2−4x+9=(x−2)2+5

Vậy:

B=1(x−2)2+5B = \frac{1}{(x - 2)^2 + 5}B=(x−2)2+51​

Bước 2: Xác định giá trị lớn nhất của $B$

• Vì (x−2)2≥0(x - 2)^2 \geq 0(x−2)2≥0 với mọi $x$, nên (x−2)2+5≥5(x - 2)^2 + 5 \geq 5(x−2)2+5≥5.

• Do đó:

  1(x−2)2+5≤15\frac{1}{(x - 2)^2 + 5} \leq \frac{1}{5}(x−2)2+51​≤51​

• Dấu "=" xảy ra khi (x−2)2=0(x - 2)^2 = 0(x−2)2=0 ⇔ $x=2$.

Phần a) Chứng minh đồng dạng

Ta có tam giác $MNP$ vuông tại $M$ và đường cao $MK$. Khi đó:

• Chứng minh $△KNM\sim △MNP$

  • $\angle KNM=\angle MNP$ (cùng phụ với $\angle NMP$)
  • $\angle MNK=\angle MNP$ (góc chung)
    → Suy ra $△KNM\sim △MNP$ (g.g)

• Chứng minh $△KNM\sim △KMP$

  • $\angle KNM=\angle KMP$ (cùng phụ với $\angle NMP$)
  • $\angle MKP=\angle MKP$ (góc chung)
    → Suy ra $△KNM\sim △KMP$ (g.g)

Phần b) Chứng minh hệ thức

MK2=NK⋅KPMK^2 = NK \cdot KPMK2=NK⋅KP

Từ tính chất của đường cao trong tam giác vuông:

MK2=NK⋅KPMK^2 = NK \cdot KPMK2=NK⋅KP

(Đây là hệ thức trung bình của đường cao trong tam giác vuông).

Phần c) Tính $MK$ và S△MNPS_{\triangle MNP}S△MNP​

Cho $NK=4$ cm, $KP=9$ cm.

Áp dụng công thức đường cao trong tam giác vuông:

MK2=NK⋅KP=4×9=36MK^2 = NK \cdot KP = 4 \times 9 = 36MK2=NK⋅KP=4×9=36 MK=36=6 cmMK = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}MK=36​=6 cm

Tính diện tích tam giác $MNP$:

S△MNP=12×MN×MPS_{\triangle MNP} = \frac{1}{2} \times MN \times MPS△MNP​=21​×MN×MP

Do $MN=MK$ và $MP=NK+KP=4+9=13$:

S△MNP=12×6×13=39 cm2S_{\triangle MNP} = \frac{1}{2} \times 6 \times 13 = 39 \text{ cm}^2S△MNP​=21​×6×13=39 cm2

Biểu thức:

A=x2−2x+1x2−1A = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}A=x2−1x2−2x+1​

Nhận thấy tử số có thể phân tích thành:

x2−2x+1=(x−1)2x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2x2−2x+1=(x−1)2

Mẫu số là hiệu hai bình phương:

x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)x2−1=(x−1)(x+1)

Do đó, biểu thức A trở thành:

A=(x−1)2(x−1)(x+1)A = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)}A=(x−1)(x+1)(x−1)2​ A=x−1x+1,(với x≠±1 để traˊnh maˆ˜u soˆˊ ba˘ˋng 0)A = \frac{x - 1}{x + 1}, \quad \text{(với \(x \neq \pm1\) để tránh mẫu số bằng 0)}A=x+1x−1​,(với x=±1 để traˊnh maˆ˜u soˆˊ ba˘ˋng 0)

b) Tính giá trị của A tại $x=3$ và x=−32x = -\frac{3}{2}x=−23​

• Khi $x=3$: A=3−13+1=24=12A = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}A=3+13−1​=42​=21​
• Khi x=−32x = -\frac{3}{2}x=−23​: A=−32−1−32+1=−52−12=5A = \frac{-\frac{3}{2} - 1}{-\frac{3}{2} + 1} = \frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{1}{2}} = 5A=−23​+1−23​−1​=−21​−25​​=5

c) Tìm $x\in \mathbb{Z}$ để $A$ nhận giá trị nguyên

Phương trình cần thỏa mãn:

x−1x+1∈Z\frac{x - 1}{x + 1} \in \mathbb{Z}x+1x−1​∈Z

Giải phương trình này ta được các giá trị nguyên của $x$.

a) $7x+2=0$

Giải phương trình:

$$7x=-2$$ x=−27x = \frac{-2}{7}x=7−2​

b) $18-5x=7+3x$

Chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ về một vế:

$$18-7=5x+3x$$ $$11=8x$$ x=118x = \frac{11}{8}x=811​