Ta có: \(\alpha \overset{\rightarrow}{I A} + \beta \overset{\rightarrow}{I B} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow \alpha \overset{\rightarrow}{I A} + \beta \left(\right. \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{A B} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(\Leftrightarrow \left(\right. \alpha + \beta \left.\right) \overset{\rightarrow}{I A} + \beta \overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{0} . \Leftrightarrow \left(\right. \alpha + \beta \left.\right) \overset{\rightarrow}{A I} = \beta \overset{\rightarrow}{A B} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{A I} = \frac{\beta}{\alpha + \beta} \overset{\rightarrow}{A B}\)
Vì A, B cố định nên vectơ \(\frac{\beta}{\alpha + \beta} \overset{\rightarrow}{A B}\) không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn điều kiện.

\(\overset{}{MA}\)

a) Gọi I là trung điểm \(B C\) suy ra \(\overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{M C} = 2 \overset{\rightarrow}{M I}\)
Do đó \(2 \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{M C} = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(2 \overset{\rightarrow}{M A} + 2 \overset{\rightarrow}{M I} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M I} = \overset{\rightarrow}{0}\)
Suy ra \(M\) là trung điểm \(A I\)
b) Gọi \(K , H\) lần lượt là trung điểm của \(A B , C D\) ta có
\(\overset{\rightarrow}{N A} + \overset{\rightarrow}{N B} + \overset{\rightarrow}{N C} + \overset{\rightarrow}{N D} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow 2 \overset{\rightarrow}{N K} + 2 \overset{\rightarrow}{N H} = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(\Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{N K} + \overset{\rightarrow}{N H} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow N\) là trung điểm của \(K H\)
c) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(B C D\) khi đó ta có \(\overset{\rightarrow}{P B} + \overset{\rightarrow}{P C} + \overset{\rightarrow}{P D} = 3 \overset{\rightarrow}{P G}\)
Suy ra \(3 \overset{\rightarrow}{P A} + \overset{\rightarrow}{P B} + \overset{\rightarrow}{P C} + \overset{\rightarrow}{P D} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow 3 \overset{\rightarrow}{P A} + 3 \overset{\rightarrow}{P G} = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(\Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{P A} + \overset{\rightarrow}{P G} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow P\) là trung điểm \(A G\).

​ Ta coˊ 2MA−3MB=0
⇔2MA−3(MA+AB)=0
⇔AM=3AB​
\(M\) nằm trên tia \(A B\) và \(A M = 3 A B\).

a) Phân tích vectơ \(\overset{\rightarrow}{A D}\) theo hai vectơ \(\overset{\rightarrow}{A B}\) và \(\overset{\rightarrow}{A F}\).
Ta có: \(O\) là trung điểm \(A D\) nên \(\overset{\rightarrow}{A D} = 2 \overset{\rightarrow}{A O}\).
Lại có: \(\left{\right. A B / / F O \\ A F / / B O \Rightarrow A B O F\) là hình bình hành \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A D} = 2 \overset{\rightarrow}{A O} = 2 \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A F} \left.\right) = 2 \overset{\rightarrow}{A B} + 2 \overset{\rightarrow}{A F}\).
b) Tính độ dài của vecto \(\frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C}\) theo \(a\).
Ta có: \(\frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B C} \left.\right) = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A C}\).
\(\Rightarrow \mid \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} \mid = \mid \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A C} \mid = \frac{1}{2} \mid \overset{\rightarrow}{A C} \mid = \frac{1}{2} A C .\&\text{nbsp};\)


Theo đề bài: \(A B C D E F\) là lục giác đều nên \(\triangle A B O ; \triangle C B O\) là tam giác đều cạnh \(a\).
Gọi \(M\) là trung điểm \(B O \Rightarrow A M ; M C\) lần lượt là đường cao \(\triangle A B O ; \triangle C B O\) và \(A C = A M + M C\) \(\Rightarrow A C = A M + M C = \frac{a \sqrt{3}}{2} + \frac{a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3} \Rightarrow \mid \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} \mid = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{3}}{2}\).

a) Hāy phân tích véctơ \(\overset{\rightarrow}{A G}\) theo hai vectơ \(\overset{\rightarrow}{A B} , \overset{\rightarrow}{A C}\).
\(A G \cap B C = M \Rightarrow M\) là trung điểm \(B C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A C} = 2 \overset{\rightarrow}{A M}\).
Mà \(G\) là trọng tâm \(\triangle A B C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A G} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A M} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{A M} = \frac{3}{2} \overset{\rightarrow}{A G}\).
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A C} = 2 \overset{\rightarrow}{A M} = 2 \cdot \frac{3}{2} \overset{\rightarrow}{A G} = 3 \overset{\rightarrow}{A G} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A G} = \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\)
b) Gọi \(E , F\) là hai điểm xác định bởi các điều kiện: \(\overset{\rightarrow}{E A} = 2 \overset{\rightarrow}{E B} , 3 \overset{\rightarrow}{F A} + 2 \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{\rightarrow}{0}\). Hāy phân tích \(\overset{\rightarrow}{E F}\) theo hai vecto \(\overset{\rightarrow}{A B} , \overset{\rightarrow}{A C}\).
Ta có: \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{\rightarrow}{E A} + \overset{\rightarrow}{A F}\).
Theo gt: \(\overset{\rightarrow}{E A} = 2 \overset{\rightarrow}{E B} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{E A} = 2 \overset{\rightarrow}{A B}\)
Từ \(3 \overset{\rightarrow}{F A} + 2 \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{\rightarrow}{0} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A F} = \frac{2}{5} \overset{\rightarrow}{A C}\).
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{E F} = \overset{\rightarrow}{E A} + \overset{\rightarrow}{A F} = 2 \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{2}{5} \overset{\rightarrow}{A C}\)

Ta có: \(E , F\) lần lượt là trung điểm của \(C A , A B \Rightarrow E F\) là đường trung bình của \(\triangle A B C \Rightarrow E F / / B C\) \(\Rightarrow \frac{I E}{C D} = \frac{A I}{A D} = \frac{I F}{B D} \Rightarrow I F = I E \Rightarrow 2 \overset{\rightarrow}{A I} = \overset{\rightarrow}{A F} + \overset{\rightarrow}{A E} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A I} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} \left.\right)\). \(G\) là trọng tâm tam giác \(A B C ; D , E , F\) lần lượt là trung điểm của \(B C , C A A B\) \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A G} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A D} = \frac{1}{3} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = \frac{1}{3} \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{A F} + 2 \overset{\rightarrow}{A E} \left.\right) = \frac{2}{3} \left(\right. \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} \left.\right) .\) \(D E\) là đường trung bình của \(\triangle A B C \Rightarrow D E = \frac{1}{2} A B = A F \Rightarrow \overset{\rightarrow}{D E} = - \overset{\rightarrow}{A F} = - \overset{⃗}{v}\). \(E F\) là đường trung bình của \(\triangle A B C \Rightarrow E F = C D \Rightarrow \overset{\rightarrow}{D C} = \overset{\rightarrow}{F E} = \overset{\rightarrow}{A E} - \overset{\rightarrow}{A F} = \overset{⃗}{u} - \overset{⃗}{v}\).

Ta có: \(M , K\) lần lượt là trung điểm của \(A B , M N\) nên \(\overset{\rightarrow}{A M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B}\) và \(2 \overset{\rightarrow}{A K} = \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N}\).
Mạat khác: \(N\) thuộc cạnh \(A C\) và \(N A = 2 N C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A N} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).
Suy ra \(\overset{\rightarrow}{A K} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).

Ta có: \(M , K\) lần lượt là trung điểm của \(A B , M N\) nên \(\overset{\rightarrow}{A M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B}\) và \(2 \overset{\rightarrow}{A K} = \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N}\).
Mạat khác: \(N\) thuộc cạnh \(A C\) và \(N A = 2 N C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A N} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).
Suy ra \(\overset{\rightarrow}{A K} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).

Ta có: \(M , K\) lần lượt là trung điểm của \(A B , M N\) nên \(\overset{\rightarrow}{A M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B}\) và \(2 \overset{\rightarrow}{A K} = \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N}\).
Mạat khác: \(N\) thuộc cạnh \(A C\) và \(N A = 2 N C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A N} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).
Suy ra \(\overset{\rightarrow}{A K} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).

- Ta có: \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{G B} - \overset{\rightarrow}{G A} = \overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{a}\).
- Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\) nên \(\overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{0} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{G C} = - \overset{\rightarrow}{G A} - \overset{\rightarrow}{G B} = - \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{b}\).
- Ta có: \(\overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{B G} + \overset{\rightarrow}{G C} = - \overset{⃗}{b} + \left(\right. - \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{b} \left.\right) = - \overset{⃗}{a} - 2 \overset{⃗}{b}\).
\(\overset{\rightarrow}{C A} = \overset{\rightarrow}{G A} - \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{⃗}{a} - \left(\right. - \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{b} \left.\right) = 2 \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b}\).