Ak =1/4 AB +1/3AC

Tồn tại duy nhất một điểm

thỏa mãn

. Với một điểm

bất kì, đẳng thức

được suy ra.

• Điểm Mcap M𝑀là trung điểm của đoạn thẳng AIcap A cap I𝐴𝐼, với Icap I𝐼là trung điểm của BCcap B cap C𝐵𝐶.
• Điểm Ncap N𝑁là trọng tâm của tứ giác ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷.
• Điểm Pcap P𝑃là điểm nằm trên đoạn thẳng AGcap A cap G𝐴𝐺sao cho 𝐴𝑃⃗=23𝐴𝐺⃗, với Gcap G𝐺là trọng tâm của tứ diện ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷.

Điểm

được xác định là điểm nằm trên đường thẳng

sao cho

nằm giữa

và

, và khoảng cách từ

đến

bằng

lần khoảng cách từ

đến

1. a)

   𝐴𝐷⃗=3𝐴𝐵⃗+𝐴𝐹⃗

   .
   b)

   12𝐴𝐵⃗+12𝐵𝐶⃗=𝑎3√2

1. 𝐴𝐺⃗=13𝐴𝐵⃗+13𝐴𝐶⃗. 𝐸𝐹⃗=−2𝐴𝐵⃗+25𝐴𝐶⃗.

• 𝐴𝐼⃗=12𝑢⃗+12𝑣⃗
• 𝐴𝐺⃗=23𝑢⃗+23𝑣⃗
• 𝐷𝐸⃗=−𝑣⃗

𝐴𝑀⃗=12𝐴𝐵⃗

1. • (vì M là trung điểm AB).
   • 𝐴𝑁⃗=23𝐴𝐶⃗(vì NA = 2NC, nên N chia AC theo tỉ lệ 2:1, tức là
3. • K là trung điểm của MN, nên 𝐴𝐾⃗=𝐴𝑀⃗+𝐴𝑁⃗2(quy tắc trung điểm).
4. Thay thế và rút gọn:
5. • 
     𝐴𝐾⃗=1212𝐴𝐵⃗+23𝐴𝐶⃗
   • Phân phối 12one-half12:
     𝐴𝐾⃗=14𝐴𝐵⃗+13𝐴𝐶⃗. 

, ta có các biểu diễn:

;

;

; và

.