Ta sử dụng định nghĩa về trọng tâm của một tam giác trong hình học véc-tơ.

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\). Theo định nghĩa, ta có:
\(\overset{⃗}{G A} + \overset{⃗}{G B} + \overset{⃗}{G C} = \overset{⃗}{0} \left(\right. *_{1} \left.\right)\)

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A E F\). Theo định nghĩa, ta có:
\(\overset{⃗}{G A} + \overset{⃗}{G E} + \overset{⃗}{G F} = \overset{⃗}{0} \left(\right. *_{2} \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. *_{1} \left.\right)\) và \(\left(\right. *_{2} \left.\right)\), ta suy ra:
\(\overset{⃗}{G A} + \overset{⃗}{G B} + \overset{⃗}{G C} = \overset{⃗}{G A} + \overset{⃗}{G E} + \overset{⃗}{G F}\)

Triệt tiêu \(\overset{⃗}{G A}\) ở cả hai vế:
\(\overset{⃗}{G B} + \overset{⃗}{G C} = \overset{⃗}{G E} + \overset{⃗}{G F}\)

Ta cần biểu diễn các véc-tơ \(\overset{⃗}{B E}\) và \(\overset{⃗}{F C}\) theo các véc-tơ xuất phát từ \(G\):

1. Biểu diễn \(\overset{⃗}{B E}\):
   \(\overset{⃗}{B E} = \overset{⃗}{G E} - \overset{⃗}{G B}\)
2. Biểu diễn \(\overset{⃗}{F C}\):
   \(\overset{⃗}{F C} = \overset{⃗}{G C} - \overset{⃗}{G F}\)

Từ đẳng thức \(\overset{⃗}{G B} + \overset{⃗}{G C} = \overset{⃗}{G E} + \overset{⃗}{G F}\), ta biến đổi để tìm mối liên hệ giữa \(\overset{⃗}{B E}\) và \(\overset{⃗}{F C}\):
\(\overset{⃗}{G C} - \overset{⃗}{G F} = \overset{⃗}{G E} - \overset{⃗}{G B}\)

Thay thế các biểu diễn véc-tơ vừa tìm được vào đẳng thức trên:
\(\overset{⃗}{F C} = \overset{⃗}{B E}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh: \(\overset{⃗}{B E} = \overset{⃗}{F C}\).

a) Chứng minh \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{N M}\).
Ta có:
\(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A}\).
Vector vị trí của M là trung điểm của BC: \(\overset{⃗}{M} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2}\).
Vector vị trí của N là trung điểm của EF: \(\overset{⃗}{N} = \frac{\overset{⃗}{E} + \overset{⃗}{F}}{2}\).
Với \(\overset{⃗}{D} = 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A}\), \(\overset{⃗}{E} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B}\), \(\overset{⃗}{F} = 2 \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{C}\).
Do đó, \(\overset{⃗}{N} = \frac{\left(\right. 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B} \left.\right) + \left(\right. 2 \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{C} \left.\right)}{2} = \frac{2 \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2}\).
Ta có:
\(\overset{⃗}{N M} = \overset{⃗}{M} - \overset{⃗}{N} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} - \frac{2 \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C} - 2 \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{2 \overset{⃗}{B} - 2 \overset{⃗}{A}}{2} = \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A}\)
Vậy \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{N M}\).

b) Chứng minh \(\overset{⃗}{M K} = \overset{⃗}{N I}\).
G là giao điểm của trung tuyến AM và trung tuyến DN. Ta tìm được vector vị trí của G là \(\overset{⃗}{G} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3}\) (G là trọng tâm của tam giác ABC).
I là trung điểm của GA, nên \(\overset{⃗}{I} = \frac{\overset{⃗}{G} + \overset{⃗}{A}}{2}\).
K là trung điểm của GD, nên \(\overset{⃗}{K} = \frac{\overset{⃗}{G} + \overset{⃗}{D}}{2}\).
Ta có:
\(\overset{⃗}{M K} = \overset{⃗}{K} - \overset{⃗}{M} = \frac{\overset{⃗}{G} + \overset{⃗}{D}}{2} - \overset{⃗}{M} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{G} + \overset{⃗}{D} - 2 \overset{⃗}{M} \left.\right)\)
Thay các biểu thức vector:
\(\overset{⃗}{M K} = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} + \left(\right. 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} \left.\right) - 2 \left(\right. \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} \left.\right) \left.\right)\)
\(\overset{⃗}{M K} = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} + 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{C} \left.\right)\)
\(\overset{⃗}{M K} = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} - \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{C} \left.\right) = \frac{1}{6} \left(\right. \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C} - 3 \overset{⃗}{A} + 3 \overset{⃗}{B} - 3 \overset{⃗}{C} \left.\right) = \frac{- 2 \overset{⃗}{A} + 4 \overset{⃗}{B} - 2 \overset{⃗}{C}}{6} = \frac{- \overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{C}}{3}\)
Ta có:
\(\overset{⃗}{N I} = \overset{⃗}{I} - \overset{⃗}{N} = \frac{\overset{⃗}{G} + \overset{⃗}{A}}{2} - \overset{⃗}{N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{G} + \overset{⃗}{A} - 2 \overset{⃗}{N} \left.\right)\)
Thay các biểu thức vector:
\(\overset{⃗}{N I} = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} + \overset{⃗}{A} - 2 \left(\right. \frac{2 \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} \left.\right) \left.\right)\)
\(\overset{⃗}{N I} = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} + \overset{⃗}{A} - \left(\right. 2 \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C} \left.\right) \left.\right)\)
\(\overset{⃗}{N I} = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} - \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{C} \left.\right) = \frac{1}{6} \left(\right. \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C} - 3 \overset{⃗}{A} + 3 \overset{⃗}{B} - 3 \overset{⃗}{C} \left.\right) = \frac{- 2 \overset{⃗}{A} + 4 \overset{⃗}{B} - 2 \overset{⃗}{C}}{6} = \frac{- \overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{C}}{3}\)
Vậy \(\overset{⃗}{M K} = \overset{⃗}{N I}\).

1. Thiết lập hệ vector: Chọn \(O\) làm gốc tọa độ. Ta có:
   \(\overset{⃗}{O A} = \overset{⃗}{a} , \overset{⃗}{O B} = \overset{⃗}{b} , \overset{⃗}{O C} = \overset{⃗}{c}\)
   Vì \(A , B , C\) nằm trên đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\), nên \(\mid \overset{⃗}{a} \mid = \mid \overset{⃗}{b} \mid = \mid \overset{⃗}{c} \mid = R\).
2. Biểu diễn vector \(\overset{⃗}{O H}\) (Vector vị trí trực tâm \(H\)):
   Trong tam giác \(A B C\) nội tiếp đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), vector vị trí của trực tâm \(H\) đối với tâm \(O\) được cho bởi công thức:
   \(\overset{⃗}{O H} = \overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C} = \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}\)
3. Biểu diễn vector \(\overset{⃗}{H B}\):
   Ta có:
   \(\overset{⃗}{H B} = \overset{⃗}{O B} - \overset{⃗}{O H} = \overset{⃗}{b} - \left(\right. \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c} \left.\right) = - \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{c}\)
   \(\overset{⃗}{H B} = - \left(\right. \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{c} \left.\right)\)
4. Biểu diễn vector \(\overset{⃗}{C D}\):
5. • Tia \(A O\) cắt đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(D\). Vì \(O\) là tâm đường tròn, \(A , O , D\) thẳng hàng và \(A D\) là đường kính. Do đó, \(\overset{⃗}{O D}\) ngược hướng với \(\overset{⃗}{O A}\) và có cùng độ dài \(R\).\(\overset{⃗}{O D} = - \overset{⃗}{O A} = - \overset{⃗}{a}\)
   • Vector \(\overset{⃗}{C D}\) được biểu diễn là:\(\overset{⃗}{C D} = \overset{⃗}{O D} - \overset{⃗}{O C} = - \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{c}\)
6. So sánh:
   Từ bước 3 và bước 4, ta thấy:
   \(\overset{⃗}{H B} = - \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{c}\)
   \(\overset{⃗}{C D} = - \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{c}\)
   Do đó,
   \(\overset{⃗}{H B} = \overset{⃗}{C D}\)

Kết luận: Ta đã chứng minh được \(\overset{⃗}{H B} = \overset{⃗}{C D}\).

Gọi \(\overset{⃗}{A} , \overset{⃗}{B} , \overset{⃗}{C} , \overset{⃗}{O}\) là các véc-tơ vị trí các điểm tương ứng.

Theo đề, \(B^{'}\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(O\), nên:

\(\overset{⃗}{B^{'}} = 2 \overset{⃗}{O} - \overset{⃗}{B}\)

Đường cao từ \(A\) là đường thẳng qua \(A\) vuông góc với \(B C\). Trực tâm \(H\) là giao điểm các đường cao.

Điểm \(H\) có thể được biểu diễn theo tọa độ bằng dạng:

\(\overset{⃗}{H} = \overset{⃗}{A} + \lambda \overset{⃗}{n}\)

trong đó \(\overset{⃗}{n}\) là véc-tơ chỉ phương đường cao từ \(A\).

Đường cao từ \(A\) vuông góc với \(B C\), nên:

\(\left(\right. \overset{⃗}{H} - \overset{⃗}{A} \left.\right) \cdot \left(\right. \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B} \left.\right) = 0\)

Ta cần tìm \(\overset{⃗}{A H} = \overset{⃗}{H} - \overset{⃗}{A}\).

\(\overset{\rightarrow}{B^{'} C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B^{'}}\):

Thay \(\overset{⃗}{B^{'}} = 2 \overset{⃗}{O} - \overset{⃗}{B}\) ta được:

\(\overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B^{'}} = \overset{⃗}{C} - \left(\right. 2 \overset{⃗}{O} - \overset{⃗}{B} \left.\right) = \overset{⃗}{C} - 2 \overset{⃗}{O} + \overset{⃗}{B} = \left(\right. \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C} \left.\right) - 2 \overset{⃗}{O}\)

Từ tính chất trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp, có một công thức đáng chú ý:

\(\overset{⃗}{H} = \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C} - 2 \overset{⃗}{O}\)

(Công thức này dùng cho tam giác \(A B C\) với tâm đường tròn ngoại tiếp \(O\) và trực tâm \(H\)).

Nếu dùng công thức này, ta có:

\(\overset{⃗}{A H} = \overset{⃗}{H} - \overset{⃗}{A} = \left(\right. \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C} - 2 \overset{⃗}{O} \left.\right) - \overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C} - 2 \overset{⃗}{O}\)

Như vậy:

\(\overset{⃗}{A H} = \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C} - 2 \overset{⃗}{O} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B^{'}}\)

Vậy:

\(\boxed{\overset{\rightarrow}{A H} = \overset{\rightarrow}{B^{'} C}}\)

Chứng minh \(\overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{N C}\):

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có \(\overset{\rightarrow}{A D} = \overset{\rightarrow}{B C}\) và \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{D C}\).
M là trung điểm của BC, do đó \(\overset{\rightarrow}{B M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C}\).
N là trung điểm của AD, do đó \(\overset{\rightarrow}{A N} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D}\).

Ta có:
\(\overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B M}\)
Thay \(\overset{\rightarrow}{B M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C}\) vào biểu thức trên, ta được:
\(\overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C}\)

Mặt khác, ta xét \(\overset{\rightarrow}{N C}\):
\(\overset{\rightarrow}{N C} = \overset{\rightarrow}{N D} + \overset{\rightarrow}{D C}\)
Vì N là trung điểm của AD, \(\overset{\rightarrow}{N D} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D}\).
Do đó, \(\overset{\rightarrow}{N C} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D} + \overset{\rightarrow}{D C}\).

Vì ABCD là hình bình hành, \(\overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{A D}\) và \(\overset{\rightarrow}{D C} = \overset{\rightarrow}{A B}\).
Thay vào biểu thức của \(\overset{\rightarrow}{A M}\):
\(\overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D}\)

Thay vào biểu thức của \(\overset{\rightarrow}{N C}\):
\(\overset{\rightarrow}{N C} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D} + \overset{\rightarrow}{A B}\)

So sánh hai biểu thức ta thấy:
\(\overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D}\) và \(\overset{\rightarrow}{N C} = \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D}\).
Do đó, \(\overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{N C}\).

Chứng minh \(\overset{\rightarrow}{D K} = \overset{\rightarrow}{N I}\):

Để chứng minh phần này, ta sử dụng phương pháp vector với gốc tọa độ tại A.
Đặt \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{b}\) và \(\overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{d}\).
Vì ABCD là hình bình hành, ta có \(\overset{⃗}{A C} = \overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d}\).
\(\overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{d}\) và \(\overset{⃗}{D C} = \overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{b}\).

M là trung điểm BC: \(\overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B M} = \overset{⃗}{b} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} = \overset{⃗}{b} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{d}\).
N là trung điểm AD: \(\overset{\rightarrow}{A N} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{d}\).

Điểm I là giao điểm của AM và BN.
Một điểm trên đường thẳng AM có dạng \(\overset{⃗}{A I} = t \overset{\rightarrow}{A M} = t \left(\right. \overset{⃗}{b} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{d} \left.\right)\) với \(t \in \mathbb{R}\).
Một điểm trên đường thẳng BN có dạng \(\overset{⃗}{B I} = s \overset{\rightarrow}{B N}\).
Ta có \(\overset{\rightarrow}{B N} = \overset{\rightarrow}{A N} - \overset{\rightarrow}{A B} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{d} - \overset{⃗}{b}\).
Vậy \(\overset{⃗}{B I} = s \left(\right. \frac{1}{2} \overset{⃗}{d} - \overset{⃗}{b} \left.\right)\).
Ta có \(\overset{⃗}{A I} = \overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{B I} = \overset{⃗}{b} + s \left(\right. \frac{1}{2} \overset{⃗}{d} - \overset{⃗}{b} \left.\right)\).

Cho \(\overset{⃗}{A I}\) bằng nhau:
\(t \left(\right. \overset{⃗}{b} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{d} \left.\right) = \overset{⃗}{b} + s \left(\right. \frac{1}{2} \overset{⃗}{d} - \overset{⃗}{b} \left.\right)\)
\(t \overset{⃗}{b} + \frac{t}{2} \overset{⃗}{d} = \left(\right. 1 - s \left.\right) \overset{⃗}{b} + \frac{s}{2} \overset{⃗}{d}\)
Vì \(\overset{⃗}{b}\) và \(\overset{⃗}{d}\) không cùng phương, ta đồng nhất hệ số:
\(t = 1 - s\)
\(\frac{t}{2} = \frac{s}{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t = s\)
Thay \(t = s\) vào phương trình đầu: \(s = 1 - s \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 2 s = 1 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } s = \frac{1}{2}\). Do đó, \(t = \frac{1}{2}\).
Vậy \(\overset{\rightarrow}{A I} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A M}\). I là trung điểm của AM.
\(\overset{⃗}{A I} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{b} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{d} \left.\right) = \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} + \frac{1}{4} \overset{⃗}{d}\).

Điểm K là giao điểm của DM và CN.
Một điểm trên đường thẳng DM có dạng \(\overset{⃗}{A K} = \overset{⃗}{A D} + u \overset{\rightarrow}{D M}\) với \(u \in \mathbb{R}\).
Ta có \(\overset{\rightarrow}{D M} = \overset{\rightarrow}{A M} - \overset{\rightarrow}{A D} = \left(\right. \overset{⃗}{b} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{d} \left.\right) - \overset{⃗}{d} = \overset{⃗}{b} - \frac{1}{2} \overset{⃗}{d}\).
Vậy \(\overset{⃗}{A K} = \overset{⃗}{d} + u \left(\right. \overset{⃗}{b} - \frac{1}{2} \overset{⃗}{d} \left.\right) = u \overset{⃗}{b} + \left(\right. 1 - \frac{u}{2} \left.\right) \overset{⃗}{d}\).

Một điểm trên đường thẳng CN có dạng \(\overset{⃗}{A K} = \overset{⃗}{A C} + v \overset{\rightarrow}{C N}\) với \(v \in \mathbb{R}\).
Ta có \(\overset{\rightarrow}{C N} = \overset{\rightarrow}{A N} - \overset{\rightarrow}{A C} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{d} - \left(\right. \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right) = - \overset{⃗}{b} - \frac{1}{2} \overset{⃗}{d}\).
Vậy \(\overset{⃗}{A K} = \left(\right. \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right) + v \left(\right. - \overset{⃗}{b} - \frac{1}{2} \overset{⃗}{d} \left.\right) = \left(\right. 1 - v \left.\right) \overset{⃗}{b} + \left(\right. 1 - \frac{v}{2} \left.\right) \overset{⃗}{d}\).

Cho \(\overset{⃗}{A K}\) bằng nhau:
\(u \overset{⃗}{b} + \left(\right. 1 - \frac{u}{2} \left.\right) \overset{⃗}{d} = \left(\right. 1 - v \left.\right) \overset{⃗}{b} + \left(\right. 1 - \frac{v}{2} \left.\right) \overset{⃗}{d}\)
Đồng nhất hệ số:
\(u = 1 - v\)
\(1 - \frac{u}{2} = 1 - \frac{v}{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } u = v\)
Thay \(u = v\) vào phương trình đầu: \(u = 1 - u \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 2 u = 1 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } u = \frac{1}{2}\). Do đó, \(v = \frac{1}{2}\).
Vậy \(\overset{\rightarrow}{D K} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{D M}\). K là trung điểm của DM.
\(\overset{⃗}{A K} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} + \left(\right. 1 - \frac{1 / 2}{2} \left.\right) \overset{⃗}{d} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} + \frac{3}{4} \overset{⃗}{d}\).

Bây giờ ta cần chứng minh \(\overset{\rightarrow}{D K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).
Ta đã có \(\overset{\rightarrow}{D K} = \overset{⃗}{A K} - \overset{⃗}{A D} = \left(\right. \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} + \frac{3}{4} \overset{⃗}{d} \left.\right) - \overset{⃗}{d} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} - \frac{1}{4} \overset{⃗}{d}\).
Ta tính \(\overset{\rightarrow}{N I}\):
\(\overset{\rightarrow}{N I} = \overset{⃗}{A I} - \overset{⃗}{A N} = \left(\right. \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} + \frac{1}{4} \overset{⃗}{d} \left.\right) - \frac{1}{2} \overset{⃗}{d} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} - \frac{1}{4} \overset{⃗}{d}\).
Do đó, \(\overset{\rightarrow}{D K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).

Để chứng minh đẳng thức vectơ \(\overset{⃗}{E F} = \overset{⃗}{C D}\), ta sẽ sử dụng phương pháp biểu diễn vectơ thông qua vectơ vị trí.
Chọn một điểm O bất kỳ làm gốc tọa độ. Khi đó, các vectơ vị trí của các điểm A, B, C được ký hiệu lần lượt là \(\overset{⃗}{O A} , \overset{⃗}{O B} , \overset{⃗}{O C}\).

Vì D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB, ta có các công thức biểu diễn vectơ vị trí của D, E, F như sau:

• D là trung điểm của BC: \(\overset{⃗}{O D} = \frac{\overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C}}{2}\)
• E là trung điểm của CA: \(\overset{⃗}{O E} = \frac{\overset{⃗}{O C} + \overset{⃗}{O A}}{2}\)
• F là trung điểm của AB: \(\overset{⃗}{O F} = \frac{\overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B}}{2}\)

Tiếp theo, ta tính vectơ \(\overset{⃗}{E F}\) và \(\overset{⃗}{C D}\):

1. Tính vectơ \(\overset{⃗}{E F}\):
   Vectơ \(\overset{⃗}{E F}\) được tính bằng hiệu vectơ vị trí của điểm cuối trừ đi điểm đầu:
   \(\overset{⃗}{E F} = \overset{⃗}{O F} - \overset{⃗}{O E}\)
   Thay các biểu thức vectơ vị trí của E và F vào, ta được:
   \(\overset{⃗}{E F} = \frac{\overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B}}{2} - \frac{\overset{⃗}{O C} + \overset{⃗}{O A}}{2}\)
   \(\overset{⃗}{E F} = \frac{\left(\right. \overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{O C} + \overset{⃗}{O A} \left.\right)}{2}\)
   \(\overset{⃗}{E F} = \frac{\overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B} - \overset{⃗}{O C} - \overset{⃗}{O A}}{2}\)
   \(\overset{⃗}{E F} = \frac{\overset{⃗}{O B} - \overset{⃗}{O C}}{2}\)
2. Tính vectơ \(\overset{⃗}{C D}\):
   Tương tự, ta tính vectơ \(\overset{⃗}{C D}\):
   \(\overset{⃗}{C D} = \overset{⃗}{O D} - \overset{⃗}{O C}\)
   Thay biểu thức vectơ vị trí của D vào:
   \(\overset{⃗}{C D} = \frac{\overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C}}{2} - \overset{⃗}{O C}\)
   Để thực hiện phép trừ, ta quy đồng mẫu số:
   \(\overset{⃗}{C D} = \frac{\overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C} - 2 \overset{⃗}{O C}}{2}\)
   \(\overset{⃗}{C D} = \frac{\overset{⃗}{O B} - \overset{⃗}{O C}}{2}\)

So sánh kết quả của \(\overset{⃗}{E F}\) và \(\overset{⃗}{C D}\), ta thấy cả hai đều bằng \(\frac{\overset{⃗}{O B} - \overset{⃗}{O C}}{2}\).
Do đó, ta có:
\(\overset{⃗}{E F} = \overset{⃗}{C D}\)
Điều này đã được chứng minh.

1. Các vectơ chỉ các cạnh đối song song và bằng nhau:
2. • \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{D C}\)
   • \(\overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{A D}\)
   • \(\overset{⃗}{B A} = \overset{⃗}{C D}\)
   • \(\overset{⃗}{C B} = \overset{⃗}{D A}\)
3. Các vectơ từ tâm đến các đỉnh và các vectơ ngược lại từ đỉnh đến tâm (do O là trung điểm của các đường chéo AC và BD):
4. • \(\overset{⃗}{O A} = \overset{⃗}{C O}\)
   • \(\overset{⃗}{O B} = \overset{⃗}{D O}\)
   • \(\overset{⃗}{O C} = \overset{⃗}{A O}\)
   • \(\overset{⃗}{O D} = \overset{⃗}{B O}\)