\(B\) \(=\) \(3x^2+3y^2+z^2+5xy-3yz-3xz-2x-2y+3\)

\(\Rightarrow2B=2.\left(3x^2+3y^2+z^2+5xy-3yz-3xz-2x-2y+3\right)\)

\(2 B = 6 x^{2} + 6 y^{2} + 2 z^{2} + 10 x y - 6 y z - 6 x z - 4 x - 4 y + 6\)

\(2B=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+2xy+y^2-4x-4y+4\right)+\left(4x^2+4y^2+2z^2+10xy-6yz-6xz+2\right)\)

\(\Rightarrow4B=2(x-y)^2+2(x^2+y^2+2^2+2\cdot x\cdot y-2.x.2-2.y.2)+2(4x^2+4y^2+2z^2+10xy-6yz-6xz+2)\)

\(4B=(x-y)^2+(x^2-2xy+y^2)+2(x+y-2)^2+(8x^2+8y^2+4z^2+20xy-12yz-12xz+4)\)

\(4B=\left(x-y\right)^2+2\left(x+y-2\right)^2+\left(9x^2+9y^2+4z^2+18xy-12yz-12xz+4\right)\)

\(4B=(x-y)^2+2(x+y-2)^2+[(3x)^2+(3y)^2+(2z)^2+2.3x.3y-2.3x.2z-2.3y.2z]+4\)

\(4B=\left(x-y\right)^2+2\left(x+y-2\right)^2+\left(3x+3y-2z\right)^2+4\)\(\Rightarrow B=\frac{(x-y)^2}{4}+\frac{(x+y-2)^2}{2}+\frac{(3x+3y-2z)^2}{4}+1\) Vì \(\frac{(x-y)^2}{4}\ge0\) với mọi x, y

\(\frac{(x+y-2)^2}{2}\ge0\) với mọi x, y

\(\frac{(3x+3y-2z)^2}{4}\ge0\) với mọi x, y, z

=> \(B=\frac{(x-y)^2}{4}+\frac{(x+y-2)^2}{2}+\frac{(3x+3y-2z)^2}{4}+1\ge1\) với mọi x, y, z

=> \(B\ge1\) với mọi x, y, z

Dấu "=" xảy ra khi:

x − y = 0 (1)

x + y − 2 = 0 (2)

x + 3y − 2z = 0 (3)

Giải (1) ta được:

x − y = 0

=> x = y

Giải (2) ta được:

x + y − 2 = 0 hay x + x − 2 = 0

=> \(2x-2=0\)

\(2x=\) \(2\)

\(x=1\)

Giải (3) ta được:

x + 3y − 2z = 0 hay 3x + 3x − 2z = 0

=> \(6x\) \(-2z=0\) \(\)

Theo (2), ta được x= 1 => thay số vào \(6x\) \(-2z=0\), ta được:

\(6.1-2z=0\)

=> \(6-2z=0\)

=> \(2z=6\)

\(z=3\)

Ta có \(x=y\) (phương trình (1)) mà \(x=1\) (phương trình (2))

=> y = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 1 khi \(x=1\); \(y=1\); \(z=3\)

​

H(x)= \(x^2+y^2\) \(-xy-x\) \(+y+1\)

=> \(12H\left(x\right)\) = 12 (\(x^2+y^2\) \(-xy-x\) \(+y+1\)\()\)

\(12H\left(x\right)\) \(=\) \(12x^2+12y^2-12xy-12x+12y+12\)

\(12H\left(x\right)\) = \((12x^2-12xy+3y^2-12x+6y+3)+(9y^2+6y+9)\)

\(12H(x)=3(4x^2-4xy+y^2-4x+2y+1)+(9y^2+6y+1)+8\)

\(12H\left(\right.x\left.\right)=3\left\lbrack(2x)^2+y^2+1^2-2\cdot2x\cdot y-2\cdot2x\cdot1+2\cdot y\cdot1\left]\right.+\left\lbrack((3y)^2+2\cdot3y\cdot1+1^2)+8\right\rbrack\right.\)

\(12H(x)=3(2x-y-1)^2+(3y+1)^2+8\)

\(\Rightarrow H(x)=\frac{3\left(2x-y-1\right)^2+(3y+1)^2+8}{12}\)

\(H\left(x\right)\) \(=\) \(\frac{(2x-y-1)^2}{4}+\frac{(3y+1)^2}{12}+\frac23\)

Vì \(\frac{(2x-y-1)^2}{4}\ge0\) với mọi x, y

\(\frac{(3y+1)^2}{12}\ge0\) với mọi y

=> \(H(x)=\) \(\frac{(2x-y-1)^2}{4}+\frac{(3y+1)^2}{12}+\frac23\) \(\ge\frac23\) với mọi x, y

=> H \(\ge\frac23\) với mọi x, y

Dấu "=" xảy ra khi

2x−y−1=0 (1)

3y+1=0 (2)

Giải (1) ta được:

2x − y − 1= 0

=> \(2x+\frac13-1=0\)

\(2x+\frac13=1\)

\(2x=1-\frac13\)

\(2x=\frac23\)

\(x=\frac13\)

Giải (2) ta được:

3y + 1 = 0

=> 3y = -1

y = \(-\frac13\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của H là \(\frac23\) khi \(x=\frac13\); y = \(-\frac13\)

​

a) Xét \(\Delta ABC\) có:

BD là đường phân giác của \(\angle ABC\) (gt)

=> \(\frac{BA}{BC}=\frac{DA}{DC}\) (Tính chất đường phân giác)

Ta có AB = AC (gt) mà AB = 15 cm (gt)

=> AC = 15 cm

Vì AC = AD + DC => Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{BA}{BC}=\frac{DA}{DC}\)

= \(\frac{BA+BC}{BC}=\) \(\frac{DA+DC}{DC}\)

Thay số: \(\frac{15+10}{10}\) \(=\) \(\frac{15}{DC}\)

\(\frac{25}{10}\) \(=\frac{15}{DC}\)

=> DC = \(\frac{10.15}{25}=6\) (cm)

Ta có: AD = AC - DC

Thay số: AD = 15 - 6 = 9 (cm)

b) Vì BD \(\bot\) BE (gt)

Mà BD là phân giác của \(\angle ABC\) (gt)

=> BE là đường phân giác của góc ngoài tại định B

=> \(\frac{BC}{AB}=\frac{EC}{EA}\) (Tính chất đường phân giác)

=>\(\frac{BC}{AB}=\frac{EC}{EA}=\frac{10}{15}=\frac23\) hay \(\frac{EC}{EC+EA}=\frac{EC}{EC+15}=\frac{10}{15}=\frac23\)

=> 3EC = 2EC +30

=> 3EC - 2EC = 30

=> EC = 30 cm

Vậy a) AD = 9 cm

DC = 6 cm

b) EC = 30 cm

​

a) Xét \(\Delta ABM\) có:

MD là đường phân giác của \(\angle AMB\)  ( Vì phân giác của \(\angle AMB\) cắt \(A B\) ở \(D\) (gt))

=> \(\frac{AD}{DB}\) \(=\) \(\frac{AM}{MB}\) (Tính chất đường phân giác) (1)

Xét Δ ACM có:

ME là đường phân giác của ∠AMC (Vì phân giác của \(\angle AMC\) cắt \(A C\) ở \(E\) (gt))

=> \(\frac{AE}{EC}=\frac{AM}{MC}\) (Tính chất đường phân giác) (2)

Vì AM là trung tuyến của \(\Delta ABC\) (gt)

=> M là trung điểm của BC (Định nghĩa)

=> BM = CM (Tính chất) (3)

Từ (1), (2) và (3) => \(\frac{AD}{DB}=\) \(\frac{AE}{EC}\)

Xét \(\Delta ABC\) có:

\(\frac{AD}{DB}=\) \(\frac{AE}{EC}\) (Chứng minh trên)

=> DE // BC (Định lý Thales đảo)

b) Vì DE // BC (Chứng minh câu a) mà I \(\in\) DE ( Vì I là giao điểm của \(D E\) và AM (gt), M \(\in\) BC (Vì AM là đường trung tuyến của \(\) \(\Delta ABC\) (gt))

=> DI // BM

IE // MC

Xét ΔABM có:

DI // BM (cmt)

=> \(\frac{DI}{BM}\)=\(\frac{AI}{AM}\) (Hệ quả của định lý Thales) (1)

Xét \(\Delta ACM\) có:

IE // MC (Chứng minh trên)

=> \(\frac{IE}{MC}=\) \(\frac{AI}{AM}\) (Hệ quả của định lý Thales) (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{DI}{BM}=\) \(\frac{IE}{MC}\) \((=\frac{AI}{AM})\)

Mà BM = CM (Chứng minh câu a)

=> DI = IE

=> I là trung điểm của DE (đpcm)

* Bảng thống kê số lượng các bạn lớp 8A thích các môn học:

* Ta lựa chọn biểu đồ cột để biểu diễn dữ liệu trên.

Gọi A là tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số chấm trên mặt xuất hiện khi gieo xúc xắc là: {Mặt 1 chấm; mặt 2 chấm; mặt 3 chấm; mặt 4 chấm; mặt 5 chấm; mặt 6 chấm}.

a) Các kết quả thuận lợi cho biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là hợp số" là: 4; 6

=> Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là hợp số".

Xác suất của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là hợp số" là:

\(\frac26=\frac13\)

b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia hết cho 3 dư 2" là: 2; 5

=> Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia hết cho 3 dư 2".

Xác suất của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia hết cho 3 dư 2" là:

\(\frac26=\frac13\)

Vậy a) Xác suất của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là hợp số" là \(\frac13\)

b) Xác suất của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia hết cho 3 dư 2" là \(\frac13\)

a) Chưa hợp lý vì chỉ có 13 người chọn điện thoại Oppo.

b) Chưa hợp lý vì chỉ có 13 người chọn điện thoại Oppo nhưng Samsung có tận 39 người chọn và Iphone có tận 37 người chọn.

Gọi A là tập hợp gồm các số tự nhiên có hai hoặc ba chữ số nhỏ hơn \(200\).

Tập hợp A gồm các số tự nhiên có hai hoặc ba chữ số nhỏ hơn \(200\) là:

A = { 10; 11; 12; 13;...; 198; 199 }

a) Số cách viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai hoặc ba chữ số nhỏ hơn \(200\) là:

(199 - 10) : 1 + 1= 190 (Cách)

b) * - Số tự nhiên được viết ra là số chia hết cho 2 và 5

Các kết quả thuận lợi cho biến cố "Số tự nhiên được viết ra là số chia hết cho 2 và 5" là: 10; 20; 30; 40;...; 180; 190

Số kết quả thuận lợi cho biến cố "Số tự nhiên được viết ra là số chia hết cho 2 và 5" là:

(190 - 10) : 10 +1 = 19 (Kết quả)

Vì thế, xác suất của biến cố "Số tự nhiên được viết ra là số chia hết cho 2 và 5" là:

\(\frac{19}{190}=\frac{1}{10}\)

* - Số tự nhiên được viết ra là bình phương của một số tự nhiên

Các kết quả thuận lợi cho biến cố "Số tự nhiên được viết ra là bình phương của một số tự nhiên" là: \(16;25;36;49;64;81;100;121;144;169;196\)

=> Có 11 kết quả thuận lợi cho biến cố "Số tự nhiên được viết ra là bình phương của một số tự nhiên" .

Vì thế, xác suất của biến cố "Số tự nhiên được viết ra là bình phương của một số tự nhiên" là: \(\frac{11}{190}\)

Vậy a) Có 190 cách viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai hoặc ba chữ số nhỏ hơn \(200\)

b) - Xác suất của biến cố "Số tự nhiên được viết ra là số chia hết cho 2 và 5" là: \(\frac{1}{10}\)

- Xác suất của biến cố "Số tự nhiên được viết ra là bình phương của một số tự nhiên" là: \(\frac{11}{190}\) \(\)

a) -Thị trường Thái Lan cung cấp lượng tinh bột sắn cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 nhiều nhất.

-Thị trường Trung Quốc cung cấp lượng tinh bột sắn cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 ít nhất.

b) Tỉ số phần trăm thị trường Indonexia cung cấp lượng tinh bột sắn cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 so với thị trường Lào là:

\(\frac{3447.100}{2983}\%\thickapprox115,6\) \(\%\)

 Thị trường Indonexia cung cấp lượng tinh bột sắn cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 tăng số phần trăm so thị trường Lào là:

\(115,6\%-100\%=15,6\%\)

c) - Vì thị trường Việt Nam đứng thứ 2 sau thị trường Thái Lan nên nhận định trong 9 tháng năm 2022, Việt Nam là thị trường cung cấp tinh bột sắn lớn thứ hai cho thị trường Đài Loan là đúng.

- Tổng lượng tinh bột sắn mà các thị trường cung cấp cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 là:

218155 + 24859 + 3447 + 2983 + 483 = 249927 (Tấn)

Thị trường Lào cung cấp tinh bột sắn chiếm số phần trăm so với tổng lượng tinh bột sắn nhập khẩu cho thị trường Đài Loan là:

\(\frac{2983.100\%}{249927}\thickapprox1,2\%\)

Vậy nhận định thị trường Lào cung cấp tinh bột sắn chiếm khoảng 1,2 % so với tổng lượng tinh bột sắn nhập khẩu cho thị trường Đài Loan là đúng.

Vậy a) -Thị trường Thái Lan cung cấp lượng tinh bột sắn cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 nhiều nhất.

-Thị trường Trung Quốc cung cấp lượng tinh bột sắn cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 ít nhất.

b) Thị trường Indonexia cung cấp lượng tinh bột sắn cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 tăng \(15,6\%\) so thị trường Lào.

c) - Nhận định trong 9 tháng năm 2022, Việt Nam là thị trường cung cấp tinh bột sắn lớn thứ hai cho thị trường Đài Loan là đúng.

- Nhận định thị trường Lào cung cấp tinh bột sắn chiếm khoảng 1,2 % so với tổng lượng tinh bột sắn nhập khẩu cho thị trường Đài Loan là đúng.

D(\(x\)) = \(2x^2+3y^2\) \(+4z^2\) \(-2(x+y+z)+2\)

\(=2x^2+3y^2\) \(+4z^2\) \(-\left(2x+2y+2z\right)\) \(+2\)

\(=2x^2+3y^2\) \(+4z^2\) \(-2x-2y-2z\) \(+2\)

\(=\left(2x^2-2x\right)\) \(+\left(3y^2-2y\right)\) \(+\left(4z^2-2z\right)\) \(+2\)

\(=2\left(x^2-x\right)\) \(+3\left(y^2-\frac23y\right)\) + 4 \((z^2-\frac12z)\) \(+2\)

\(=\) { 2 \(\left\lbrack x^2-2.x.\right.\) \(\frac12\) \(+\left(\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2\) \(\rbrack\)} + { 3 \(\left\lbrack y^2-2.y.\right.\) \(\frac13\) \(+\left(\frac13\right)^2-\left(\frac13\right)^2\) \(\rbrack\) } + { 4 \(\left\lbrack z^2-2.z.\frac14+\left(\frac14\right)^2-\left(\frac14\right)^2\right.\rbrack\) } + 2

= 2 \((x-\frac12)^2\) + 3 \(\left(y-\frac13\right)^2\) +4 \((z-\frac14)^2\) + \(\frac{11}{12}\)

Vì 2 \((x-\frac12)^2\) \(\ge0\) với mọi x

3 \(\left(y-\frac13\right)^2\) \(\ge0\) với mọi y

4 \((z-\frac14)^2\ge0\) với mọi z

=> D\(\left(x\right)\) = 2 \((x-\frac12)^2\) + 3 \(\left(y-\frac13\right)^2\) + 4 \((z-\frac14)^2\) + \(\frac{11}{12}\) \(\ge\frac{11}{12}\) với mọi x, y, z

=> D \(\ge\frac{11}{12}\) với mọi x, y, z

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}x-\frac12=0\\ y-\frac13=0\\ z-\frac14=0\end{cases}\)

=> \(\begin{cases}x=\frac12\\ y=\frac13\\ z=\frac14\end{cases}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của D là \(\frac{11}{12}\) khi \(x=\frac12\); \(y=\frac13\); \(z=\frac14\)