Gọi số người theo kế hoạch mỗi giờ phải xét nghiệm là x(người)

(ĐIều kiện: \(� \in �^{+}\))

Số người thực tế mỗi giờ xét nghiệm là x+50(người)

Thời gian dự kiến hoàn thành là \(\frac{1000}{�} \left(\right. � � ờ \left.\right)\)

Thời gian thực tế hoàn thành là \(\frac{1000}{� + 50} \left(\right. � � ờ \left.\right)\)

Việc xét nghiệm hoàn thành sớm 1 giờ nên ta có:

\(\frac{1000}{�} - \frac{1000}{� + 50} = 1\)

=>\(\frac{1000 \left(\right. � + 50 \left.\right) - 1000 �}{� \left(\right. � + 50 \left.\right)} = 1\)

=>\(� \left(\right. � + 50 \left.\right) = 50000\)

=>\(�^{2} + 50 � - 5000 = 0\)

=>(x+100)(x-50)=0

=>\(\left[\right. � + 100 = 0 \\ � - 50 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. � = - 100 \left(\right. � � ạ � \left.\right) \\ � = 50 \left(\right. � ℎ ậ � \left.\right)\)

Vậy: Mỗi giờ dự kiến xét nghiệm được cho 50 người

Gọi số bộ quần áo theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải may được là x(bộ)

(Điều kiện: \(� \in �^{+}\))

Thời gian dự kiến hoàn thành công việc là \(\frac{900}{�} \left(\right. � � \overset{ˋ}{�} � \left.\right)\)

Số bộ quần áo thực tế mỗi ngày may được là x+10(bộ)

Thời gian thực tế hoàn thành công việc là \(\frac{900}{� + 10} \left(\right. � � ờ \left.\right)\)

Phân xưởng đã hoàn thành xong trước 3 ngày nên ta có:

\(\frac{900}{�} - \frac{900}{� + 10} = 3\)

=>\(\frac{300}{�} - \frac{300}{� + 10} = 1\)

=>\(\frac{300 � + 3000 - 300 �}{� \left(\right. � + 10 \left.\right)} = 1\)

=>x(x+10)=3000

=>\(�^{2} + 10 � - 3000 = 0\)

=>(x+60)(x-50)=0

=>\(\left[\right. � = - 60 \left(\right. � � ạ � \left.\right) \\ � = 50 \left(\right. � ℎ ậ � \left.\right)\)

Vậy: Số bộ quần áo dự kiến mỗi ngày may được là 50 bộ

Gọi vận tốc của xe máy là x(km/h)

(Điều kiện: x>0)

Vận tốc của ô tô là x+9(km/h)

Thời gian ô tô đi hết quãng đường là \(\frac{135}{� + 9} \left(\right. � � ờ \left.\right)\)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường là \(\frac{135}{�} \left(\right. � � ờ \left.\right)\)

Ô tô đến trước xe máy 45p=0,75 giờ nên ta có:

\(\frac{135}{�} - \frac{135}{� + 9} = 0 , 75\)

=>\(\frac{1}{�} - \frac{1}{� + 9} = \frac{1}{180}\)

=>\(\frac{� + 9 - �}{� \left(\right. � + 9 \left.\right)} = \frac{1}{180}\)

=>\(� \left(\right. � + 9 \left.\right) = 9 \cdot 180 = 1620\)

=>\(�^{2} + 9 � - 1620 = 0\)

=>(x-36)(x+45)=0

=>\(\left[\right. � = 36 \left(\right. � ℎ ậ � \left.\right) \\ � = - 45 \left(\right. � � ạ � \left.\right)\)

Vậy: Vận tốc của xe máy là 36km/h

Vận tốc của ô tô là 36+9=45km/h

Gọi chiều rộng khu vườn là x(m)

(Điều kiện: x>0)

Chiều dài khu vườn là 3x(m)

Chiều dài phần còn lại là \(� - 1 , 5 \cdot 2 = � - 3\)(m)

Chiều dài phần còn lại là \(3 � - 1 , 5 \cdot 2 = 3 � - 3\)(m)

Diện tích phần còn lại là 4329m² nên ta có:

\(\left(\right. � - 3 \left.\right) \left(\right. 3 � - 3 \left.\right) = 4329\)

=>\(\left(\right. � - 3 \left.\right) \left(\right. � - 1 \left.\right) = 1443\)

=>\(�^{2} - 4 � + 3 - 1443 = 0\)

=>\(�^{2} - 4 � - 1440 = 0\)

=>(x-40)(x+36)=0

=>\(\left[\right. � = 40 \left(\right. � ℎ ậ � \left.\right) \\ � = - 36 \left(\right. � ℎ ậ � \left.\right)\)

Vậy: Chiều rộng là 40m

Chiều dài là \(40 \cdot 3 = 120 �\)

Gọi chiều rộng là x(m)

(Điều kiện: x>0)

Chiều dài là x+7(m)

Độ dài đường chéo là 13m nên \(�^{2} + \left(\left(\right. � + 7 \left.\right)\right)^{2} = 1 3^{2}\)

=>\(�^{2} + �^{2} + 14 � + 49 - 169 = 0\)

=>\(2 �^{2} + 14 � - 120 = 0\)

=>\(�^{2} + 7 � - 60 = 0\)

=>(x+12)(x-5)=0

=>\(\left[\right. � + 12 = 0 \\ � - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. � = - 12 \left(\right. � � ạ � \left.\right) \\ � = 5 \left(\right. � ℎ ậ � \left.\right)\)

Vậy: Chiều rộng là 5m

CHiều dài là 5+7=12m

Diện tích là \(5 \cdot 12 = 60 \left(\right. �^{2} \left.\right)\)

Δ=(m+2)2−4⋅1⋅2m

\(= �^{2} + 4 � + 4 - 8 � = �^{2} - 4 � + 4 = \left(\left(\right. � - 2 \left.\right)\right)^{2} > = 0 \forall �\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>\(\left(\left(\right. � - 2 \left.\right)\right)^{2} > 0\)

=>\(� - 2 \neq 0\)

=>\(� \neq 2\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\left{\right. �_{1} + �_{2} = - \frac{�}{�} = - � - 2 \\ �_{1} �_{2} = \frac{�}{�} = 2 �\)

\(2 \left(\right. �_{1} + �_{2} \left.\right) + �_{1} �_{2} = 2 \left(\right. - � - 2 \left.\right) + 2 � = - 2 � - 4 + 2 � = - 4\)

=>Đây là biểu thức không phụ thuộc vào m

Theo Vi-et, ta có:

\(\left{\right. �_{1} + �_{2} = - \frac{�}{�} = - 2024 \\ �_{1} �_{2} = \frac{�}{�} = 2\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\left{\right. �_{3} + �_{4} = - \frac{�}{�} = - 2025 \\ �_{3} �_{4} = \frac{�}{�} = 2\)

\(� = \left(\right. �_{1} + �_{3} \left.\right) \left(\right. �_{2} - �_{3} \left.\right) \left(\right. �_{1} + �_{4} \left.\right) \left(\right. �_{2} - �_{4} \left.\right)\)

\(= \left(\right. �_{1} + �_{3} \left.\right) \left(\right. �_{2} - �_{4} \left.\right) \left(\right. �_{2} - �_{3} \left.\right) \left(\right. �_{1} + �_{4} \left.\right)\)

\(= \left(\right. �_{1} �_{2} - �_{1} �_{4} + �_{2} �_{3} - �_{3} �_{4} \left.\right) \left(\right. �_{1} �_{2} + �_{2} �_{4} - �_{3} �_{1} - �_{3} �_{4} \left.\right)\)

\(= \left(\right. 2 - �_{1} �_{4} + �_{2} �_{3} - 2 \left.\right) \left(\right. 2 + �_{2} �_{4} - �_{3} �_{1} - 2 \left.\right)\)

\(= \left(\right. - �_{1} �_{4} + �_{2} �_{3} \left.\right) \left(\right. �_{2} �_{4} - �_{3} �_{1} \left.\right)\)

\(= - �_{1} \cdot �_{2} \cdot �_{4}^{2} + �_{1}^{2} \cdot �_{3} \cdot �_{4} + �_{2}^{2} \cdot �_{3} \cdot �_{4} - �_{2} \cdot �_{1} \cdot �_{3}^{2}\)

\(= - 2 \cdot �_{4}^{2} + 2 �_{1}^{2} + 2 �_{2}^{2} - 2 �_{3}^{2}\)

\(= 2 \left[\right. \left(\left(\right. �_{1} + �_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 �_{1} �_{2} \left]\right. - 2 \left[\right. \left(\left(\right. �_{3} + �_{4} \left.\right)\right)^{2} - 2 �_{3} �_{4} \left]\right.\)

\(= 2 \left[\right. \left(\left(\right. - 2024 \left.\right)\right)^{2} - 2 \cdot 2 \left]\right. - 2 \left[\right. \left(\left(\right. - 2025 \left.\right)\right)^{2} - 2 \cdot 2 \left]\right.\)

\(= 2 \cdot 202 4^{2} - 8 - 2 \cdot 202 5^{2} + 8 = 2 \left(\right. 202 4^{2} - 202 5^{2} \left.\right)\)

\(= 2 \left(\right. 2024 - 2025 \left.\right) \left(\right. 2024 + 2025 \left.\right) = - 8098\)

a: \(\Delta = \left(\left[\right. - 2 \left(\right. � + 1 \left.\right) \left]\right.\right)^{2} - 4 \left(\right. 2 � - 2 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\left(\right. � + 1 \left.\right)\right)^{2} - 4 \left(\right. 2 � - 2 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\right. �^{2} + 2 � + 1 - 2 � + 2 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\right. �^{2} + 3 \left.\right) > = 4 \cdot 3 = 12 > 0 \forall �\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\left{\right. �_{1} + �_{2} = - \frac{�}{�} = 2 \left(\right. � + 1 \left.\right) \\ �_{1} �_{2} = \frac{�}{�} = 2 � - 2\)

\(� = �_{1}^{2} + 2 \left(\right. � + 1 \left.\right) \cdot �_{2} + 2 � - 2\)

\(= �_{1}^{2} + �_{2} \left(\right. �_{1} + �_{2} \left.\right) + �_{1} �_{2}\)

\(= �_{1}^{2} + 2 �_{1} �_{2} + �_{2}^{2} = \left(\left(\right. �_{1} + �_{2} \left.\right)\right)^{2} = \left(\left(\right. 2 � + 2 \left.\right)\right)^{2}\)

a: \(�^{2} - � � - 1 = 0\)

a=1; b=-m; c=-1

Vì \(� \cdot � = 1 \cdot \left(\right. - 1 \left.\right) < 0\)

nên (1) luôn  có hai nghiệm trái dấu

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\left{\right. �_{1} + �_{2} = - \frac{�}{�} = � \\ �_{1} �_{2} = \frac{�}{�} = - 1\)

\(� = \frac{�_{1}^{2} + �_{1} - 1}{�_{1}} - \frac{�_{2}^{2} + �_{2} - 1}{�_{2}}\)

\(= �_{1} + 1 - \frac{1}{�_{1}} - �_{2} - 1 + \frac{1}{�_{2}}\)

\(= \left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) - \left(\right. \frac{1}{�_{1}} - \frac{1}{�_{2}} \left.\right)\)

\(= \left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) - \frac{�_{2} - �_{1}}{�_{1} �_{2}}\)

\(= \left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) + \frac{�_{1} - �_{2}}{�_{1} �_{2}}\)

\(= \left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) - \left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) = 0\)

a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{� � �} + \hat{� � �} = 9 0^{0} + 9 0^{0} = 18 0^{0}\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AO

Tâm I là trung điểm của AO

b: Xét ΔABO có I,M lần lượt là trung điểm của AO,AB

=>MI là đường trung bình của ΔABO

=>MI//BO

Xét ΔAMI và ΔABO có \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �} \left(\right. = \frac{1}{2} \left.\right)\) và góc MAI chung

nên ΔAMI~ΔABO

=>\(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\)

=>\(� � \cdot � � = � � \cdot � �\)

c: Gọi H là trung điểm của AM

Xét ΔCMA có

G là trọng tâm

H là trung điểm của AM

Do đó: C,G,H thẳng hàng và \(� � = \frac{2}{3} � �\)

Ta có: CG+GH=CH

=>\(� � = � � - \frac{2}{3} � � = \frac{1}{3} � �\)

Ta có: H là trung điểm của AM

=>\(� � = � � = \frac{� �}{2} = \frac{� �}{2}\)

Ta có: HM+MB=HB

=>\(� � = \frac{1}{2} � � + � � = \frac{3}{2} � �\)

=>\(\frac{� �}{� �} = \frac{\frac{1}{2} � �}{\frac{3}{2} � �} = \frac{1}{3}\)

Xét ΔHCB có \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �} \left(\right. = \frac{1}{3} \left.\right)\)

nên MG//BC