Đồng Thị Như Quỳnh
Giới thiệu về bản thân
Gọi số đo cung nhỏ
AB𝐴𝐵là
x𝑥(độ). Theo đề bài, số đo cung lớn
AB𝐴𝐵gấp đôi số đo cung nhỏ nên số đo cung lớn là
2x2𝑥.
Vì tổng số đo cung lớn và cung nhỏ của một đường tròn luôn bằng
, ta có phương trình:
Vậy số đo cung nhỏ
AB𝐴𝐵là
120∘120∘.
Vì số đo cung nhỏ 𝐴𝐵 =120∘ nên góc ở tâm 𝐴𝑂𝐵 =120∘.Xét tam giác OAB𝑂𝐴𝐵 cân tại O𝑂 (do 𝑂𝐴 =𝑂𝐵 =𝑅):
- Cách 1: Sử dụng Định lý Cosin
AB2=OA2+OB2−2⋅OA⋅OB⋅cos(AOB̂)𝐴𝐵2=𝑂𝐴2+𝑂𝐵2−2⋅𝑂𝐴⋅𝑂𝐵⋅cos(𝐴𝑂𝐵) AB2=R2+R2−2R2⋅cos(120∘)𝐴𝐵2=𝑅2+𝑅2−2𝑅2⋅cos(120∘)
Theo đề bài, cung lớn có số đo bằng ba lần cung nhỏ nên số đo cung lớn là 3x3𝑥. Tổng số đo của hai cung tạo bởi dây AB𝐴𝐵 luôn bằng số đo của cả đường tròn là 360∘360∘. Ta có phương trình:
x+3x=360∘𝑥+3𝑥=360∘ 4x=360∘4𝑥=360∘ x=90∘𝑥=90∘ Vậy:
- Số đo cung nhỏ AB𝐴𝐵 là 90∘90∘.
- Số đo cung lớn AB𝐴𝐵 là 3 ×90∘ =270∘.
Vì số đo cung nhỏ AB𝐴𝐵 bằng 90∘90∘ nên góc ở tâm tương ứng là 𝐴𝑂𝐵 =90∘. Do đó, △AOB△𝐴𝑂𝐵 là tam giác vuông tại O𝑂.
Mặt khác, 𝑂𝐴 =𝑂𝐵 =𝑅 (bán kính), nên △AOB△𝐴𝑂𝐵là tam giác vuông cân tại O𝑂.
Khoảng cách OH𝑂𝐻 từ tâm O𝑂 đến dây AB𝐴𝐵 chính là đoạn vuông góc kẻ từ O𝑂 đến AB𝐴𝐵 ( 𝑂𝐻 ⟂𝐴𝐵).
Trong tam giác cân, đường cao OH𝑂𝐻 đồng thời là đường trung tuyến của cạnh huyền AB𝐴𝐵.
Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền đó.
Vậy: 𝑂𝐻 =𝐴𝐵2 (Điều phải chứng minh).
- Vì số đo cung nhỏ AB𝐴𝐵 bằng 100∘100∘ nên góc ở tâm 𝐴𝑂𝐵 =100∘.
- Gọi H𝐻 là hình chiếu của O𝑂 trên dây AB𝐴𝐵 ( 𝑂𝐻 ⟂𝐴𝐵). Khi đó OH𝑂𝐻 là khoảng cách từ tâm đến dây, 𝑂𝐻 =3 cm.
- Trong tam giác cân OAB𝑂𝐴𝐵 (vì 𝑂𝐴 =𝑂𝐵 =𝑅), đường cao OH𝑂𝐻 đồng thời là đường phân giác.
- Do đó: 𝐴𝑂𝐻 =𝐴𝑂𝐵2 =100∘2 =50∘.
- Xét tam giác AOH𝐴𝑂𝐻 vuông tại H𝐻, ta có:
cos(AOĤ)=OHOAcos(𝐴𝑂𝐻)=𝑂𝐻𝑂𝐴 - Suy ra:
OA=OHcos(50∘)=3cos(50∘)𝑂𝐴=𝑂𝐻cos(50∘)=3cos(50∘) - Tính toán:
- Theo yêu cầu đề bài làm tròn đến hàng đơn vị: 55 cm.
- Xét tam giác ABC vuông tại B (theo giả thiết 𝐵 =90∘):
Đường trung tuyến BO ứng với cạnh huyền AC có độ dài bằng nửa cạnh huyền:
𝐵𝑂 =12𝐴𝐶 (1) - Xét tam giác ADC vuông tại D (theo giả thiết 𝐷 =90∘):
Đường trung tuyến DO ứng với cạnh huyền AC có độ dài bằng nửa cạnh huyền:
𝐷𝑂 =12𝐴𝐶 (2) - Mặt khác, vì O là trung điểm của AC nên:
𝑂𝐴 =𝑂𝐶 =12𝐴𝐶 (3)
Xét ∆BCB’ vuông tại B’ có đường trung tuyến B’O ứng với cạnh huyền BC, do đó B′O=12BC.
Mà O là trung điểm của BC nên OB=OC=12BC.
Do đó B′O=OB=OC=12BC.
Chứng minh tương tự đối với ∆BCC’ vuông tại C’, ta cũng có C′O=OB=OC=12BC.
Suy ra B′O=C′O=OB=OC=12BC.
Vậy đường tròn tâm O bán kính OB’ đi qua B, C, C’.
Gọi T là giao điểm của MN và OA
Xét (O) ta có :
OA=OM=ON=d2=102=5cm
Vì T là trung điểm của OA và MN
⇒TO=TA=OA2=52
Xét ΔOTN và ΔOTM
OT Chung
ON=OM(CMT)
TN=TM(T là trung điểm )
⇒ΔOTN = ΔOTM(c−c−c)
⇒NT=MT( Cặp cạnh tương ứng )
Xét ΔOTN vuông tại T
Theo định lý Pythagore,ta có :
NT=√ON2−OT2=√52−(52)2=5√32cm
Vì NT=MT⇒MT=5√32cm
Ta có :MN=TM+TN=2⋅5√32=5√3cm