Quỹ đạo của quả bóng là một đường parabol, nên hàm số biểu thị độ cao h theo thời gian t có dạng:

h (t) = at² + bt + c (a < 0 )

Dựa vào các dữ kiện từ đề bài, tao có hẹn phương trình sau:

Tại thời điểm bắt đầu ( t = 0 ), độ cao là 1 m:

h (0) = a (0)² + b(0) + c = 1 => c = 1

Sau 1 giây (t = 1), độ cao là 8,5 m:

h (1) = a(1)² + b(1) + 1 = 6 => a + b = 7,5 (1)

Sau 2 giây (t = 2 ),độ cao là 6 m:

h (2) = a(2)² + b(2) +1 = 6 => 4a +2b = 5 (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2):

Từ (1) => b = 7,5 - a. Thế vào (2):

4a + 2(7,5 - a ) = 5

4a +15 -2a = 5

2a = -10=> a = -5

Tính b:

b = 7,5 - ( - 5 )= 12,5

Vậy hàm số độ cao là: h( t) = -5t² + 12,5t² +1

Độ cao cao nhất chính là tung độ đỉnh của parabol, đạt được tại thời điểm

t = -b'/2a

t = -12,5 / 2 x (- 5) = 12,5/10 = 1,25 ( giây)

Thay t = 1,5 vào hàm số h(t):

hmax= -5 ( 1,25)² + 12,5( 1,25 )+ 1

hmax= -5 (1,5625 )+ 15,625 + 1

hmax= - 7,8125 + 15,625 + 1 = 8,8125 (m)

Độ cao cao nhất mà quả bóng đạt được là 8,8125 mét.

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M ( x0; y0 ) đến đường thẳng ∆:

ax + bx + c = 0:

d ( M, ∆ ) = | ax0 + by0 + c | /√a² + b²

Áp dụng với tâm I ( 7; 2 ) và đường thẳng ∆: 3x + 4y - 9 = 0:

R = d ( I, ∆ ) = | 3 × 7 + 4 × 2 - 9 | /√3² + 4²

R = | 21 + 8 - 9 | / √9 + 16 = | 20 | /√25 = 20/5 = 4

Phương trình đường tròn có tâm I (a; b ) và bán kính R có dạng:

Thay a = 7 b = 2 và R = 4 vào , ta được:

( x - 7 )² + ( y - 2 )² = 4²

( x - 7 )² + ( y - 2 )² = 16

Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là: ( x - 7 )² + (x - 2)² = 16.

Xét phương trình: x² - 2x - 1 = 0

Sử dụng công thức nghiệm thu gọn với a = 1, b' = -1, c = -1

∆' = ( b' ) - ac= (-1)² - 1 × (-1) = 2

Vì ∆' > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 = -b' - √∆' /a = 1 - √2/1 = -1 -√2

x2 = -b' + √∆'/a= 1 +√2/1 = 1 + √2

Tam thức F(x) = x² - 2x - 1 có hệ số a = 1 >0

Theo quy tắc trái dấu tam thức bậc hai ( "Trong trái, ngoài cùng"):

f(x) < 0 khỉ nằm trong khoảng giữa hai nghiệm.

f(x) > 0 khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm.

Vì bất phương trình yêu cầu x² - 2x - 1 < 0, nên tập nghiệm của bất phương trình là:

S = ( 1 - √2 ; 1 + √2)

Hay có thể viết là: 1 - √2 < x < 1 + √2

d