Lời giải chi tiết

Bước 1: Chuyển biểu thức số có hai chữ số sang dạng đại số

Số hai chữ số \(\overset{\overline}{a b}\) được viết dưới dạng tổng giá trị từng chữ số là:
\(\overset{\overline}{a b} = 10 a + b\)
Tương tự, số hai chữ số \(\overset{\overline}{b a} = 10 b + a\).

Bước 2: Tính hiệu hai số

\(\overset{\overline}{a b} - \overset{\overline}{b a} = \left(\right. 10 a + b \left.\right) - \left(\right. 10 b + a \left.\right) = 9 a - 9 b = 9 \left(\right. a - b \left.\right)\)

Bước 3: Xác định điều kiện hiệu là số chính phương

Vì \(9 = 3^{2}\) là bình phương của một số nguyên, nên \(9 \left(\right. a - b \left.\right)\) là số chính phương khi và chỉ khi \(a - b\) cũng là một số chính phương.

Bước 4: Liệt kê các cặp số nguyên tố thỏa mãn

Vì \(a\) và \(b\) là số nguyên tố và \(a > b > 0\), ta chỉ xét các số nguyên tố có một chữ số phổ biến trong bài toán lớp 7: \(2 , 3 , 5 , 7\). Khoảng cách lớn nhất giữa hai số nguyên tố khác nhau trong tập hợp này là \(7 - 2 = 5\), nên các số chính phương có thể của \(a - b\) chỉ là \(1\) và \(4\):

1. Trường hợp 1: \(a - b = 1\) Hai số nguyên tố liên tiếp duy nhất là \(2\) và \(3\), nên \(b = 2\), \(a = 3\). Hiệu \(\overset{\overline}{a b} - \overset{\overline}{b a} = 9 \left(\right. 3 - 2 \left.\right) = 9 = 3^{2}\) (thỏa mãn điều kiện số chính phương). Tuy nhiên, số \(\overset{\overline}{a b} = 32\) là hợp số, nên nếu đề bài yêu cầu cả số \(\overset{\overline}{a b}\) là số nguyên tố thì cặp này không thỏa mãn.
2. Trường hợp 2: \(a - b = 4\) Tìm các cặp số nguyên tố thỏa mãn:
3. • Nếu \(b = 2\) thì \(a = 6\) (không phải số nguyên tố)
   • Nếu \(b = 3\) thì \(a = 7\) (cả hai đều là số nguyên tố)
   • Nếu \(b = 5\) thì \(a = 9\) (không phải số nguyên tố) Kiểm tra hiệu: \(\overset{\overline}{a b} - \overset{\overline}{b a} = 9 \left(\right. 7 - 3 \left.\right) = 36 = 6^{2}\) (thỏa mãn điều kiện số chính phương). Số \(\overset{\overline}{a b} = 73\) là số nguyên tố, thỏa mãn tất cả các điều kiện.

Kết luận

Nếu đề bài yêu cầu cả \(a , b\) là số nguyên tố và số \(\overset{\overline}{a b}\) là số nguyên tố thì chỉ có số nguyên tố 73 thỏa mãn, tương ứng với cặp số nguyên tố \(\left(\right. a , b \left.\right) = \left(\right. 7 ; 3 \left.\right)\). Nếu chỉ yêu cầu \(a , b\) là số nguyên tố thì thêm cặp \(\left(\right. 3 ; 2 \left.\right)\) tương ứng với số 32 (hợp số).